Les nombres relatifsCours

I

Notion d'opposé

Opposé d'un nombre

Si l'on place un nombre sur un axe gradué, l'opposé de ce nombre est celui qui est à la même distance de l'origine, de l'autre côté de l'origine. On note -a l'opposé du nombre a.

−3 est l'opposé de 3.

-
II

Nombres négatifs, nombres positifs, nombres relatifs

Nombre négatif

Un nombre négatif est un nombre précédé d'un signe « - ». Le nombre \left(-a\right) est défini comme le résultat de la soustraction 0-a.

(−6) est un nombre négatif. Il est plus petit que 0. Il est le résultat de la soustraction 0 − 6.

(−6) est à la même distance de 0 que 6 : le segment entre −6 et 0 et celui entre 0 et 6 ont la même longueur sur la droite des réels. 

-

Nombre positif

Un nombre positif est un nombre supérieur ou égal à 0. Il est précédé d'un signe « + » ou écrit sans signe.

Les nombres 2 ; 7,8 et 5,14 sont des nombres positifs.

Nombre relatif

Un nombre relatif est un nombre positif ou un nombre négatif.

(−6) est un nombre négatif. C'est un nombre relatif.

(+21,7) est un nombre positif. C'est un nombre relatif.

Tout entier naturel ou tout nombre décimal est un nombre relatif.

56 est un nombre relatif qui peut s'écrire (+56).

1,78 est un nombre relatif qui peut s'écrire (+1,78).

Pour désigner un nombre relatif, on l'entoure de parenthèses. En général, les nombres positifs s'écrivent sans signe « + » et sans parenthèses.

(+21,7) est un nombre positif, qui peut s'écrire 21,7.

(−5) est un nombre relatif que l'on peut écrire sans parenthèses : −5.

0 est le seul nombre relatif à la fois positif et négatif.

III

Addition et soustraction de nombres relatifs

  • La somme de deux nombres positifs correspond à la somme déjà connue de ces nombres.
  • La somme de deux nombres négatifs est égale à la somme de leurs opposés précédée d'un signe « - ».
  • La somme de deux nombres relatifs de signes différents est égale à la différence de leurs distances par rapport à 0, précédée du signe du nombre le plus éloigné de 0.

5+2=7

\left(−9\right) + \left(−12\right) = − \left(9 + 12\right) = − \left(21\right) = \left(−21\right) = −21

7 + \left(−15\right) = − \left(15 − 7\right) = − \left(8\right) = \left(−8\right) = −8

La somme de deux nombres opposés est égale à 0.

\left(−4\right) + \left(+4\right) = 0

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Cela signifie que toute soustraction peut s'écrire comme une addition.

45 − 12 = 45 + \left(−12\right)=33

12-\left(-4\right)=12+\left(+4\right)=12+4=16

Dans une séquence d'additions et soustractions, on peut enlever les parenthèses des nombres relatifs et supprimer leurs signes en respectant la règle suivante :

  • Lorsque deux signes identiques se suivent, on les remplace par un +.
  • Lorsque deux signes différents se suivent, on les remplace par un -.

\left(+11\right) − \left(−16\right) + \left(−4\right) = 11 + 16 − 4 = 27 − 4 = 23

Pour calculer une séquence d'additions et soustractions, on peut soit procéder de la gauche vers la droite, soit regrouper les termes à additionner et les termes à soustraire.

22 - 19 + 4 + 18 - 5 = \underbrace{22 + 4 + 18}_{44} \underbrace{- 19 - 5}_{-24} = 44 + \left(-24\right) = 44 - 24 = 20

IV

Comparer, ranger, encadrer

Lorsque l'on compare deux nombres relatifs, trois cas se présentent.

Cas 1

Les deux nombres sont positifs

Si les deux nombres sont positifs, on peut utiliser la règle usuelle pour les comparer.

Cas 2

Les deux nombres sont négatifs

On considère deux nombres négatifs -a et -b. On a alors :

  • Si a\lt b, alors -a\gt -b.
  • Si a\gt b, alors -a\lt -b.
Cas 3

Un des deux nombres est positif et l'autre est négatif

Le nombre négatif est toujours inférieur au nombre positif.

On cherche à comparer 2 et 5. Les deux nombres sont positifs, donc :

2\lt 5

On cherche à comparer −2 et −5. Ces deux nombres sont négatifs.

On sait que :

2\lt 5

Donc :

-2\gt -5

On cherche à comparer 2 et −5. On a directement :

-5\lt 2

Ordre croissant et décroissant

  • Ranger des nombres relatifs dans l'ordre croissant, c'est les écrire du plus petit au plus grand.
  • Ranger des nombres relatifs dans l'ordre décroissant, c'est les écrire du plus grand au plus petit.

On souhaite ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant :

5 ; 6,7 ; −3,4 ; 3,4 ; 0 ; −1

On obtient :

-3{,}4\lt-1\lt0\lt3{,}4\lt5\lt6{,}7

Dans l'ordre décroissant, on obtient :

6{,}7\gt5\gt3{,}4\gt0\gt-1\gt-3{,}4

Encadrement d'un nombre relatif

Encadrer un nombre relatif a par deux autres nombres relatifs, c'est déterminer deux nombres b et c tels que b\lt a\lt c.

On peut encadrer le nombre −3,1 de la manière suivante :

-4\lt-3{,}1\lt-3

V

Repérer sur une droite graduée

Droite graduée

Une droite graduée est une droite sur laquelle on choisit un point, appelé origine de la droite graduée, un sens (de la gauche vers la droite en général) et une unité de longueur que l'on reporte à partir de l'origine, de part et d'autre de celle-ci.

-

Abscisse d'un point

Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif appelé abscisse du point.

-

Questions fréquentes

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