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Dernière modification : 27/08/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Les quatre opérations
L'addition et la soustraction
Addition
L'addition est l'opération qui consiste à ajouter.
Somme, termes
On dit que ce calcul est une somme. Dans une somme, les nombres qui sont additionnés s'appellent les termes de la somme.
On peut être amené à additionner des nombres dans les situations suivantes :
- une situation faisant intervenir un « tout » et une partie de ce « tout » ;
- une situation de comparaison.
- Dans une classe, il y a 11 filles et 9 garçons. En tout, le nombre d'élèves dans cette classe est égal à 11+9, c'est-à-dire à 20.
- Mia mesure 10 cm de plus que sa soeur dont la taille est de 135 cm. La taille de Mia est égale, en cm, à 135+10, c'est-à-dire à 145 cm.
Soustraction
La soustraction est l'opération qui consiste à enlever.
Une soustraction correspond à une addition à trou.
Effectuer la soustraction 30-12 revient à chercher le nombre manquant dans l'addition à trou : 12+\dots=30.
On peut être amené à soustraire des nombres dans les mêmes situations que celles dans lesquelles on additionne.
- une situation faisant intervenir un « tout » et une partie de ce « tout » ;
- une situation de comparaison.
- Dans une classe, il y a 25 élèves au total, dont 14 garçons. Le nombre de filles dans cette classe est égal à 25-14, c'est-à-dire à 11.
- Marc mesure 8 cm de moins que son père dont la taille est de 175 cm. La taille de Marc est égale, en cm, à 175-8, c'est-à-dire à 167 cm.
Quand on effectue des calculs, on peut vérifier la vraisemblance du résultat à l'aide d'ordres de grandeur.
On considère le calcul : 7{,}23+5{,}04-1{,}999.
On veut vérifier que le résultat que l'on a obtenu, 10,271, est vraisemblable.
- 7 est un ordre de grandeur de 7,23 ;
- 5 est un ordre de grandeur de 5,04 ;
- 2 est un ordre de grandeur de 1,999.
Donc un ordre de gradeur du résultat de 7{,}23+5{,}04-1{,}999 doit être égal à 7+5-2=10.
Or, 10 est bien un ordre de grandeur de 10,271.
Le résultat obtenu est donc vraisemblable.
Multiplication
Multiplication
La multiplication d'un nombre par un nombre entier n consiste à effectuer une addition répétée n fois de ce nombre.
La multiplication 5 \times 3{,}8 revient à effectuer l'addition itérée 3{,}8+3{,}8+3{,}8+3{,}8+3{,}8.
Produit, facteurs
On dit que ce calcul est un produit. Dans un produit, les nombres qui sont multipliés s'appellent les facteurs du produit.
On peut être amené à multiplier des nombres dans les situations suivantes.
- une situation faisant intervenir un « tout » et une partie de ce « tout » ;
- une situation de comparaison ;
- des problèmes de dénombrement ;
- des calculs d'aire ou de volumes.
- José achète 6 cahiers identiques à 2,50 € l'unité. Le prix que José devra payer est égal, en euros, à 6 \times 2{,}50, c'est-à-dire à 15 €.
- Rosa possède 3,20 €. Sa soeur possède quatre fois plus. Elle possède une somme égale, en euros, à 3{,}20 \times 4, c'est-à-dire 12,80 €.
- Une peluche est livrée avec 3 tee-shirts différents et 4 pantalons différents. Le nombre total de tenues que l'on peut faire est égal à 3 \times 4, c'est-à-dire 12.
- Un rectangle mesure 4,5 m de long et 3,6 m de large. Son aire est égale, en m2, à 4{,}5 \times 3{,}6, c'est-à-dire à 16,2 m2.
Quand on effectue des calculs, on peut vérifier la vraisemblance du résultat à l'aide d'ordres de grandeur.
On considère le calcul : 8{,}26 \times 500{,}2.
On veut vérifier que le résultat que l'on a obtenu, 4 131,652, est vraisemblable.
- 8 est un ordre de grandeur de 8,26 ;
- 500 est un ordre de grandeur de 500.
Donc un ordre de gradeur du résultat de 8{,}26 \times 500{,}2 doit être égal à 8 \times500=4\ 000.
Or, 4 000 est bien un ordre de grandeur de 4 131,652.
Le résultat obtenu est donc vraisemblable.
Division
Division
La division est l'opération qui consiste à partager, répartir.
Une division correspond à une multiplication à trou.
Effectuer la division 153\div10 revient à chercher le nombre manquant dans la multiplication à trou : 10\times \dots=153.
On peut être amené à effectuer des divisions dans les situations suivantes.
- Une situation faisant intervenir un « tout » et une partie de ce « tout » : il s'agit souvent de problèmes consistant à rechercher la valeur d'une part ou le nombre de parts dans le cadre d'un partage équitable ;
- une situation de comparaison ;
- la recherche d'une longueur en connaissant une aire ou un volume.
- Sam achète 5 cahiers identiques et paie au total 7,50 €. Le prix d'un cahier, en euros, est égal à 7{,}50 \div5, c'est-à-dire 1,50 €.
- Christophe possède 20 €. Sa soeur possède deux fois moins. Elle possède une somme égale, en euros, à 20 \div 2, c'est-à-dire 10 €.
- Un rectangle mesure 9 m de long et a une aire de 36 m2. Son aire est égale, en m, à 36 \div 9, c'est-à-dire à 4 m.
Dans un problème, la division peut avoir deux sens :
- La division partition, pour calculer la valeur d'une part.
- La division quotition, pour calculer le nombre de parts égales.
Dans une classe de 28 élèves, le professeur d'EPS souhaite faire 4 groupes de même effectif. On cherche à déterminer le nombre d'élèves dans chaque groupe.
On effectue la division euclidienne de 28 par 4. Il s'agit d'une division partition. Il y aura 7 élèves par groupe.
Dans une classe de 32 élèves, le professeur d'EPS souhaite faire des groupes de 4 élèves. On cherche à déterminer le nombre de groupes.
On effectue la division euclidienne de 32 par 4. Il s'agit d'une division quotition. Il y aura 8 groupes.
Pour diviser par un nombre décimal, on se ramène à une division dont le diviseur est entier en mobilisant la propriété des quotients égaux vus avec les fractions.
On souhaite effectuer la division suivante : 2{,}4 \div 0{,}03.
On commence par écrire cette division sous la forme fractionnaire : \dfrac{2{,}4}{0{,}03}.
On remarque que si on multiplie 0,03 par 100, on obtient un nombre entier : 0{,}03\times 100=3.
On utilise alors la propriété des quotients égaux en multipliant le numérateur et le dénominateur par 100 :
\dfrac{2{,}4}{0{,}03}=\dfrac{2{,}4\textcolor{Red}{\times 100}}{0{,}03\textcolor{Red}{\times 100}}=\dfrac{240}{3}
Or, on sait calculer : \dfrac{240}{3}=240 \div 3 = 80.
Par conséquent : 2{,}4 \div 0{,}03=80.
Les enchaînements de calculs
Les priorités opératoires
Dans le cas d'enchaînements d'opérations sans parenthèses, la multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction.
Pour effectuer le calcul 4{,}5+3\times 11, on commence par repérer les opérations qui interviennent : il y a une addition et une multiplication.
Comme la multiplication est prioritaire sur l'addition, on l'effectue en premier :
4{,}5+\textcolor{Red}{3\times 11}=4{,}5+\textcolor{Red}{33}=37{,}5
Si plusieurs opérations prioritaires apparaissent dans le même calcul, deux situations se présentent :
- les calculs prioritaires sont indépendants ; on peut alors les effectuer en parallèle ;
- les calculs prioritaires se succèdent directement ; dans ce cas on les effectue de gauche à droite.
On considère le calcul suivant :
4 \div 10+1+5\times 0{,}5
On remarque qu'il y a une division, deux additions et une multiplication.
La division et la multiplication sont indépendantes, on peut donc effectuer le calcul ainsi :
\textcolor{Green}{4 \div 10}+1+\textcolor{Red}{5\times 0{,}5}=\textcolor{Green}{0{,}4}+1+\textcolor{Red}{2{,}5}=1{,}4+2{,}5=3{,}9
On considère le calcul suivant :
7+3\times 8\div100
On remarque qu'il y a une addition, une multiplication et une division.
La division succède directement à la multiplication, on procède donc de gauche à droite dans cette partie du calcul :
7+\textcolor{Red}{3\times 8}\div100=7+\textcolor{Red}{24}\div100=7+\textcolor{Green}{24\div100}=7+\textcolor{Green}{0{,}24}=7{,}24
Dans le cas d'enchaînements d'opérations avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses. Quand on effectue ces calculs, on respecte les priorités appliquées lors des calculs sans parenthèses.
Pour effectuer le calcul 7\times (10-8\times 0{,}5)+3, on commence par effectuer le calcul entre parenthèses, au sein desquelles la multiplication est prioritaire.
On a ainsi :
7\times (10-\textcolor{Red}{8\times 0{,}5})+3\\=7\times (10-\textcolor{Red}{4})+3\\= 7\times \textcolor{Green}{(10-4)}+3\\=7\times6+3\\=42+3\\=45
Traduire une succession donnée d'opérations en une seule expression
Une succession donnée d'opérations élémentaires en une seule expression peut s'écrire en un unique calcul, sous la forme d'une seule expression.
On considère la suite d'opérations élémentaires ci-dessous :
- diviser 27 par 3 ;
- additionner 0,7 au résultat obtenu ;
- soustraire 2 au résultat obtenu.
Cette suite d'opérations peut s'écrire ainsi :
27\div 3+0{,}7-2
Lorsque l'on traduit une succession d'opérations en une seule expression, on a parfois besoin de mettre des parenthèses dans cette expression.
C'est le cas quand la succession d'opérations ne correspond pas à l'ordre des priorités opératoires.
On considère la suite d'opérations élémentaires ci-dessous :
- additionner 10 et 2,5 ;
- multiplier par 0,1 le résultat obtenu ;
- soustraire 0,5 au résultat obtenu.
Cette suite d'opérations peut s'écrire ainsi :
(10+2{,}5)\times 0{,}1-0{,}5
Ici, on doit mettre le calcul 10+2{,}5 entre parenthèses afin qu'il soit effectué avant la multiplication par 0,1.
La simple distributivité
La simple distributivité consiste à écrire un calcul de deux manières équivalentes : comme une somme (ou une différence) et comme un produit.
On imagine que l'on dispose de ronds et de rectangles que l'on peut manipuler et mettre dans des petits sacs.
La distributivité peut s'illustrer ainsi :
On peut écrire :
(2+5)\times 3=2\times3+5\times 3
On peut également considérer la simple distributivité dans l'autre sens :
On peut écrire :
10\times4+7\times 4=(10+7)\times 4
La distributivité est utilisée fréquemment pour rendre des calculs plus simples à effectuer.
Pour calculer 27\times 102, on peut procéder de la manière suivante.
En utilisant le fait que 102=100+2, on calcule :
- 27\times 100=2\ 700
- 27\times 2=54
Puis on additionne : 2\ 700+54=2\ 754
Ainsi, on a obtenu : 27\times 102=2\ 754
Pour calculer 1{,}25\times7+1{,}25\times3, on peut procéder de la manière suivante.
En utilisant le fait que 7+3=10, on calcule plus simplement :
1{,}25\times 10 = 12{,}5
Ainsi, on a obtenu :
1{,}25\times7+1{,}25\times3=12{,}5
La distributivité fonctionne également avec la soustraction.
Pour calculer 27\times 99, on peut procéder de la manière suivante.
En utilisant le fait que 99=100-1, on calcule :
- 27\times 100=2\ 700
- 27\times 1=27
Puis on soustrait : 2\ 700-27=2\ 673
Ainsi, on a obtenu : 27\times 99=2\ 673
Pour calculer 33\times19-33\times9, on peut procéder de la manière suivante.
En utilisant le fait que 19-9=10, on calcule plus simplement :
33\times 10 = 330
Ainsi, on a obtenu : 33\times19-33\times9=330.
Les multiples et les diviseurs
Définitions
Division euclidienne de deux nombres entiers
Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier a par un nombre entier b non nul, c'est trouver deux nombres q et r tels que :
- a=q\times b+r
- r est strictement inférieur à b
Le nombre a est appelé le dividende, le nombre b est appelé le diviseur, le nombre q est appelé le quotient et le nombre r est appelé le reste.
On effectue la division euclidienne de 50 par 6 :
Dans 50, il y a 8 fois 6 et il reste 2.
On écrit : 50=8 \times 6+2.
- 50 est le diviseur.
- 6 est le dividende.
- 8 est le quotient.
- 2 est le reste.
On a bien 2 \lt 6.
Multiple d'un nombre entier
Un nombre entier a est un multiple d'un nombre entier b si dans la division euclidienne de a par b, le reste est égal à 0.
Par exemple, dans la division euclidienne de 56 par 8, le reste est égal à 0.
En effet, 56=7 \times 8+0.
56 est donc un multiple de 8.
Les multiples d'un nombre entier n sont les nombres 0\times n, 1\times n, 2\times n, 3\times n, 4\times n, etc.
Autrement dit, les multiple d'un nombre entier n sont les nombres apparaissant dans la table de multiplication de n.
Les multiples du nombre entier 5 sont 0 \times 5, 1 \times 5, 2 \times 5, 3 \times 5, 4 \times 5, etc., c'est-à-dire 0, 5, 10, 15, 20, etc.
Les multiples de 9 sont les nombres de la table de multiplication de 9, c'est-à-dire 0, 9, 18, 27, 36, 45, etc.
Diviseur d'un nombre entier
Un nombre entier b est un diviseur d'un nombre entier a si dans la division euclidienne de a par b, le reste est égal à 0.
Par exemple, dans la division euclidienne de 36 par 4, le reste est égal à 0.
En effet, 36=9 \times 4+0.
4 est donc un diviseur de 36.
Les diviseurs d'un nombre entier a sont les entiers naturels b pour lesquels la division euclidienne de a par b donne un reste nul.
Ils sont nécessairement inférieurs ou égaux à a.
Les diviseurs du nombre 15 sont les entiers b pour lesquels la division euclidienne de 15 par b admet un reste nul.
Les divisions euclidiennes dont le dividende est 15 et qui donnent un reste nul sont les divisions par 1, par 3, par 5 et par 15 :
- 15=15\times 1+0
- 15=5\times 3+0
- 15=3\times 5+0
- 15=1\times 15+0
Les diviseurs de 15 sont donc 1, 3, 5 et 15.
Quand la division euclidienne d'un nombre a par un nombre b non nul donne un reste égal à 0, il est équivalent de dire :
- a est un multiple de b ;
- b est un diviseur de a ;
- a est divisible par b.
La division euclidienne de 45 par 9 donne un reste nul : 45=5 \times9 +\textcolor{Red}{0}.
On peut dire que :
- 45 est un multiple de 9 ;
- 9 est un diviseur de 45 ;
- 45 est divisible par 9.
Critères de divisibilité par 3 et par 9
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Le nombre 156 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est égale à 1+5+6=12 et 12 est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Le nombre 6 057 est divisible par 9 car la somme de ses chiffres est égale à 6+0+5+7=18 et 18 est divisible par 9.
Si un nombre est divisible par 9, alors il est divisible par 3.
La réciproque est fausse.
Le nombre 90 est divisible par 9. Il est également divisible par 3.
En revanche, le nombre 33 est divisible par 3 mais il n'est pas divisible par 9.