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Dernière modification : 27/08/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Puissances simples d'un nombre
Carré d'un nombre
Carré d'un nombre
Le carré d'un nombre décimal positif c est l'aire d'un carré dont la longueur des côtés mesure c unités, c'est-à-dire c \times c.
On utilise un raccourci pour le calcul de l'aire d'un carré de côté c unités : écrit le produit c \times c de la manière suivante : c^2 et on lit « c au carré ».
On dit que le nombre c est élevé au carré.
- Le produit 3 \times 3 s'écrit 3^2.
- Le produit 0{,}25\times 0{,}25 s'écrit 0{,}25^2.
- Le produit x\times x s'écrit x^2.
On retrouve la notation du carré dans l'écriture des unités d'aire : km2, m2, cm2, etc.
L'aire d'un rectangle de longueur 7 cm et de largeur 5 cm est égale à :
5\text{ cm}\times 7\text{ cm}=35\text{ cm}^2
Les carrés de nombres entiers de 0 à 12 sont à connaître :
Pour simplifier des calculs, on peut être amené à chercher à écrire un nombre sous la forme du carré d'un nombre.
- Le nombre 49 peut s'écrire sous la forme 7^2.
- Le nombre 400 peut s'écrire sous la forme 20^2.
Cube d'un nombre
Cube d'un nombre
Le cube d'un nombre décimal positif a est le volume d'un cube dont la longueur des arêtes mesure a unités, c'est-à-dire a \times a\times a.
On utilise un raccourci pour le calcul du volume d'un cube d'arête a unités : on écrit le produit a \times a \times a de la manière suivante : a^3 et on lit « a au cube ».
On dit que le nombre a est élevé au cube.
- Le produit 4 \times 4 \times 4 s'écrit 4^3.
- Le produit 2{,}5 \times 2{,}5 \times 2{,}5 s'écrit 2{,}5^3.
- Le produit y \times y \times y s'écrit y^3.
Le cube de 10 est égal à 1 000.
Pour simplifier des calculs, on peut être amené à chercher à écrire un nombre sous la forme du cube d'un nombre.
- Le nombre 8 peut s'écrire sous la forme 2^3.
- Le nombre 64 peut s'écrire sous la forme 4^3.
On retrouve la notation du cube dans l'écriture des unités de volume : dam3, hm3, mm3, etc.
Le volume d'un pavé droit de dimensions 4 cm, 0,5 cm et 10 cm est égal à :
4\text{ dm} \times 0{,}5\text{ dm}\times 10\text{ dm}=20\text{ dm}^3
Calculs contenant des puissances simples
Calcul de la valeur numérique d'expressions contenant des puissances simples
Dans un calcul numérique sans parenthèses, un carré ou un cube est prioritaire.
On veut calculer 3 \times 5^2 – 7.
On effectue en premier le calcul de 5^2 :
3 \times \textcolor{Red}{5^2} – 7=3 \times 25-7=75-7=68
Dans un calcul numérique contenant des parenthèses, on effectue d'abord les calculs figurant à l'intérieur des parenthèses.
On veut calculer (3 \times 5)^2 + 7.
On effectue en premier le calcul entre parenthèses, à savoir 3 \times 5 :
(\textcolor{Red}{3 \times 5})^2 + 7=15^2+7=15 \times 15 +7=225+7=232
Dans un calcul contenant un carré ou un cube et des parenthèses, il faut faire attention à la position relative du carré ou du cube et des parenthèses.
(0{,}5 \times 2)^3 et 0{,}5 \times 2^3 ne sont pas égaux.
En effet :
- Dans (0{,}5 \times 2)^3, tout ce qui est entre les parenthèses est élevé au cube : (0{,}5 \times 2)^3=1^3=1.
- Dans 0{,}5 \times 2^3, seul le nombre 2 est élevé au cube : 0{,}5 \times 2^3=0{,}5 \times 8 = 4.
Calcul de la valeur d'une expression littérale contenant une puissance simple
Dans un calcul littéral sans parenthèses, un carré ou un cube est prioritaire.
On veut calculer 5x^3 – 1 pour x=2.
On va donc calculer : 5 \times 2^3-1.
On effectue en premier le calcul de 2^3 :
5 \times \textcolor{Red}{2^3}-1=5 \times 8 -1=40-1=39
Dans un calcul littéral contenant des parenthèses, on effectue d'abord les calculs figurant à l'intérieur des parenthèses.
On veut calculer (2x)^3 + 1 pour x=5.
On va donc calculer : (2 \times 5)^3 +1 .
On effectue en premier le calcul entre parenthèses, à savoir 2 \times 5 :
(\textcolor{Red}{2 \times 5})^3 +1=10^3+1=1\ 000+1=1\ 001
Dans un calcul contenant un carré ou un cube et des parenthèses, il faut faire attention à la position relative du carré ou du cube et des parenthèses.
(5x)^2 et 5x^2 ne sont pas égaux.
En effet, par exemple pour x=4 :
- Dans (5x)^2, tout ce qui est entre les parenthèses est élevé au carré : (5x)^2=(5 \times 4)^2=20^2=400.
- Dans 5x^2, seul le nombre x est élevé au carré : 5x^2=5\times4^2=5 \times 16 = 80.