Définition des triangles semblables
Deux triangles sont semblables s'ils ont deux angles deux à deux de même mesure.
Montrer que deux triangles sont semblables
Pour montrer que deux triangles sont semblables, il faut montrer qu'ils ont deux paires d'angles deux à deux de même mesure.
Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit de montrer qu'ils ont deux paires d'angles deux à deux de même mesure.
Les triangles ABC et A'B'C' vérifient :
- \widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}
- \widehat{BCA}=\widehat{B'C'A'}
Comme la somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°, on en déduit :
- \widehat{BAC}=180-\widehat{ABC}-\widehat{BCA}
- \widehat{B'A'C'}=180-\widehat{A'B'C'}-\widehat{B'C'A'}
Comme on a :
- \widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}
- \widehat{BCA}=\widehat{B'C'A'}
On en déduit :
\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}
Les triangles ABC et A'B'C' ont bien leurs angles deux à deux de mêmes mesures.
Les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.
Les triangles semblables et la proportionnalité
Lorsque des triangles sont semblables, les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
Deux triangles semblables ont les longueurs des côtés opposés aux angles de même mesures proportionnelles.
Autrement dit, si deux triangles ABC et A'B'C' sont deux triangles vérifiant \widehat{A}=\widehat{A'}, \widehat{B}=\widehat{B'} et \widehat{C}=\widehat{C'}, alors le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
| Longueurs du triangle ABC | AB | AC | BC |
| Longueurs du triangle A'B'C' | A'B' | A'C' | B'C' |
Réciproquement, si deux triangles ont les longueurs de leurs côtés proportionnelles, alors ces deux triangles sont semblables.
On considère deux triangles dont les côtés sont proportionnels.
On note ABC le plus petit et DEF le plus grand (s'ils sont égaux, la réciproque du théorème est évidente) de sorte que :
\dfrac{AC}{ED}=\dfrac{BC}{FD}=\dfrac{AB}{EF} (égalité 1)
Sur le côté [DF] du triangle EDF, on place le point G tel que DG=CB puis on trace la droite passant par G et parallèle à la droite (EF). Elle coupe [DE] en H, comme sur la figure suivante :
Ainsi, on a des angles correspondants \widehat{HGD} et \widehat{EFD} d'une part, \widehat{GHD} et \widehat{FED} d'autre part.
Or, (HG)//(EF).
Donc \widehat{HGD}=\widehat{EFD} et \widehat{GHD}=\widehat{FED}.
Comme G est sur [DF] et H est sur [DE], on a aussi \widehat{HDG}=\widehat{EDF}, ce qui montre que les triangles EDF et HDG sont semblables.
Par ailleurs, dans le triangle EDF, H est sur [DE], G est sur [DF] et (HG)//(EF).
Donc, d'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{GD}{FD}=\dfrac{HD}{ED}=\dfrac{HG}{EF}
Or, BC=DG donc \dfrac{BC}{FD}=\dfrac{HD}{ED}=\dfrac{HG}{EF} (égalité 2).
En reprenant les égalités (1) et (2) ci-dessus et en les comparant, on a :
\dfrac{AC}{ED}=\dfrac{HD}{ED} et \dfrac{AB}{EF}=\dfrac{HG}{EF}
Donc :
AC=HD et AB=HG
De plus :
BC=DG
Ainsi, les triangles ABC et HGD sont isométriques (ou « égaux »).
En résumé, on a montré que :
- les triangles HGD et EDF sont semblables ;
- les triangles ABC et HGD sont isométriques (ou « égaux »).
On en déduit que ABC et EDF sont semblables.
