Un club de natation propose un après-midi découverte pour les enfants.
PARTIE A
La présidente du club veut offrir des petits sachets cadeaux tous identiques contenant des autocollants et des drapeaux avec le logo du club.
Elle a acheté 330 autocollants et 132 drapeaux et veut tous les utiliser.
Elle veut que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre d'autocollants et que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre de drapeaux.
Est-il possible de faire 15 sachets ?
On effectue la division euclidienne de 132 par 15.
On obtient :
132=8\times15+12
On observe que le reste est non nul.
On en déduit que 132 n'est pas un multiple de 15.
Par conséquent, il ne sera pas possible de faire 15 sachets.
Il n'est pas possible de faire 15 sachets.
Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 330 ?
On décompose 330 en produit de facteurs premiers de la manière suivante :
330=33\times10=3\times11\times5\times2=2\times3\times5\times11
La décomposition en produit de facteurs premiers de 330 est 2\times3\times5\times11.
Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 132 ?
On décompose 132 en produit de facteurs premiers de la manière suivante :
132=66\times2=11\times3\times2\times2=2^2\times3\times11
La décomposition en produit de facteurs premiers de 132 est 2^2\times3\times11.
Quel sera le plus grand nombre de sachets que la présidente pourra réaliser ?
On cherche le plus grand nombre de sachets que la présidente pourra réaliser.
Ce nombre est le plus grand diviseur commun à 330 et 132.
Or, on sait que :
- La décomposition en produit de facteurs premiers de 330 est 2\times3\times5\times11.
- La décomposition en produit de facteurs premiers de 132 est 2^2\times3\times11.
On en déduit que le plus grand diviseur commun à 330 et 132 est égal à 2\times3\times11, c'est-à-dire à 66.
Par conséquent, le plus grand nombre de sachets que la présidente pourra réaliser est égal à 66.
Le plus grand nombre de sachets que la présidente pourra réaliser est égal à 66.
Dans ce cas, combien la présidente mettra-t-elle d'autocollants et de drapeaux dans chaque sachet ?
On dispose de 330 autocollants et de 132 drapeaux.
On sait par ailleurs que le plus grand nombre de sachets que la présidente pourra réaliser est égal à 66.
On en déduit que, dans un sachet, on pourra mettre :
- un nombre d'autocollants égal à \dfrac{330}{66}=5 ;
- un nombre de drapeaux égal à \dfrac{132}{66}=2.
Dans un sachet, il y aura donc 5 autocollants et 2 drapeaux.
Dans un sachet, la présidente mettra 5 autocollants et 2 drapeaux.
PARTIE B
La piscine a la forme d'un pavé droit représenté ci-dessous.
Elle est remplie aux \dfrac{9}{10} du volume.
1 m³ d'eau coûte 4,14 €.
Combien coûte le remplissage de la piscine ?
La piscine est représentée par un pavé droit de dimensions 25 m, 15 m et 2 m.
On calcule le volume de la piscine :
V=25\times15\times2
On obtient 750 m³.
La piscine est remplie aux \dfrac{9}{10}.
Par conséquent, le volume d'eau pour remplir la piscine est égal, en m³, à :
\dfrac{9}{10}\times750
ce qui donne 675 m³.
Sachant que 1 m³ d'eau coûte 4,14 €, on en déduit que le coût de remplissage de la piscine est égal, en euros, à :
675\times4{,}14 = 2\ 794{,}50
Le remplissage de la piscine coûte 2 794,50 €.