Géométrie dans l'espace Fiche bac

I

Intersection dans l'espace

A

Intersection de deux droites

-
B

Intersection d'une droite et d'un plan

-
C

Intersection de deux plans

-
D

Intersection de trois plans

-
E

Parallélisme

  • Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles entre elles.
  • Si une droite est parallèle à une seconde, alors elle est parallèle à tous les plans contenant cette seconde droite.
  • Si une droite est parallèle à deux plans sécants, elle est parallèle à leur droite d'intersection.
  • Si deux droites sécantes d'un plan sont parallèles à un second plan, les deux plans sont alors parallèles.
  • Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux.

Théorème du toit

Soient deux plans P et P' ayant pour intersection la droite \(\displaystyle{\Delta }\).

Si d appartenant à P et d' appartenant à P' sont parallèles, alors ces deux droites sont également parallèles à \(\displaystyle{\Delta }\).

-
II

Orthogonalité dans l'espace

Droites orthogonales

Deux droites sont orthogonales s'il existe une parallèle à la première qui est perpendiculaire à la seconde.

Droite orthogonale à un plan

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

  • Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
  • Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une est alors orthogonal à l'autre.
  • Si deux droites sont orthogonales à un même plan, elles sont alors parallèles.
  • Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
  • Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, ils sont alors parallèles.

Plan médiateur

On appelle plan médiateur d'un segment le plan orthogonal à ce segment qui passe par son milieu.

Le plan médiateur d'un segment est formé de l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

-
III

Géométrie vectorielle dans l'espace

A

Vecteur et repérage

Caractérisation d'un plan

Un plan est caractérisé par :

  • Trois points non alignés
  • Ou un point et deux vecteurs non colinéaires

Pour montrer que trois points A, B et C définissent bien un plan, il suffit de montrer que les trois points ne sont pas alignés.

Autrement dit, il suffit de montrer que, par exemple, les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) ne sont pas colinéaires.

Soient \(\displaystyle{\mathscr{P}}\) un plan, A un point de \(\displaystyle{\mathscr{P}}\), \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) deux vecteurs non colinéaires de directions parallèles à \(\displaystyle{\mathscr{P}}\).

Un point M de l'espace appartient au plan \(\displaystyle{\mathscr{P}}\) si, et seulement s'il existe deux réels a et b tels que \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}}\).

Vecteurs coplanaires

Les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\), \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{w}}\) sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels a et b tels que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{w} = a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}}\)

Coordonnées

Si \(\displaystyle{\overrightarrow{i}}\), \(\displaystyle{\overrightarrow{j}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{k}}\) sont trois vecteurs non coplanaires et O un point de l'espace, on peut alors définir le repère de l'espace (\(\displaystyle{O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}}\)).
Dans ce repère, tout point M est identifié par un unique triplet de réels \(\displaystyle{\left(x ; y ; z\right)}\) tel que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}}\)

Le triplet \(\displaystyle{\left(x ; y ; z\right)}\) est appelé coordonnées du point M, et on note :

\(\displaystyle{M \text{ } \left(x ; y ; z\right)}\)

On appelle x l'abscisse, y l'ordonnée et z la cote du point M.

Coordonnées

Si \(\displaystyle{\overrightarrow{i}}\), \(\displaystyle{\overrightarrow{j}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{k}}\) sont trois vecteurs non coplanaires et O un point de l'espace, on peut alors définir le repère de l'espace (\(\displaystyle{O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}}\)).
Dans ce repère, tout vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) est identifié par un unique triplet de réels \(\displaystyle{\left(x ; y ; z\right)}\) tel que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}}\)

Le triplet \(\displaystyle{\left(x ; y ; z\right)}\) est appelé coordonnées du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\), et on note :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\)

On appelle x l'abscisse, y l'ordonnée et z la cote du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\).

Repère

  • Un repère est dit orthogonal si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{i}}\), \(\displaystyle{\overrightarrow{j}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{k}}\) sont deux à deux orthogonaux.
  • Un repère est dit orthonormal ou orthonormé si de plus les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{i}}\), \(\displaystyle{\overrightarrow{j}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{k}}\) ont même norme.

Coordonnées du milieu d'un segment

Dans un repère, le milieu I de \(\displaystyle{\left[AB\right]}\) a pour coordonnées :

\(\displaystyle{I \text{ } \left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\dfrac{y_A + y_B}{2} ; \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)}\)

Distance

Dans un repère orthonormal, la distance \(\displaystyle{AB}\) est égale à :

\(\displaystyle{ AB =\sqrt{\left(x_{B} - x_{A}\right)^{2} + \left(y_{B} - y_{A}\right)^{2} + \left(z_{B} - z_{A}\right)^{2}}}\)

B

Équations paramétriques d'une droite et d'un plan

Systèmes d'équations paramétriques d'une droite

Soient \(\displaystyle{A \left(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}\right)}\) un point de l'espace et \(\displaystyle{\overrightarrow{u} \left(a ; b ; c\right)}\) un vecteur non nul.
La droite \(\displaystyle{\Delta }\) passant par A et de vecteur directeur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) est l'ensemble des points de l'espace de coordonnées \(\displaystyle{\left(x ; y ; z\right)}\) vérifiant le système d'équations paramétriques, ou représentation paramétrique, de la droite \(\displaystyle{\Delta }\) (avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{R}}\) ) :

\(\displaystyle{\begin{cases}x = x_{0} + ka \cr \cr y = y_{0} + kb \cr \cr z = z_{0} + kc\end{cases}}\)

En remplaçant k par un réel quelconque, on obtient un nouveau point de la droite \(\displaystyle{\Delta}\).

Si D est une droite de système d'équations paramétriques \(\displaystyle{\begin{cases}x=x_0+ka\\y=y_0+kb\\z=z_0+kc\end{cases}, k\in\mathbb{R}}\),

alors la droite D passe par le point \(\displaystyle{A\left(x_0;y_0;z_0\right)}\) et admet pour vecteur directeur le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\).

Équation paramétrique d'un plan

Soient \(\displaystyle{A \left(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}\right)}\) un point de l'espace et \(\displaystyle{\overrightarrow{u} \left(a ; b ; c\right)}\), \(\displaystyle{\overrightarrow{v} \left(a' ; b' ; c'\right)}\) deux vecteurs non colinéaires.
Le plan P passant par A et de vecteur directeurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) est l'ensemble des points de l'espace de coordonnées \(\displaystyle{\left(x ; y ; z\right)}\) vérifiant l'équation paramétrique, ou représentation paramétrique, du plan P (avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{R}}\) et \(\displaystyle{k' \in \mathbb{R}}\) ) :

\(\displaystyle{\begin{cases}x = x_{0} + ka + k'a' \cr \cr y = y_{0} + kb + k'b' \cr \cr z = z_{0} + kc + k'c'\end{cases}}\)

En remplaçant k et k' par des réels quelconques, on obtient un nouveau point du plan P.

IV

Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire

Soit un repère orthonormal de l'espace \(\displaystyle{\left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k}\right)}\).
Le produit scalaire des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u} \left(x ; y ; z\right)}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v} \left(x' ; y' ; z'\right)}\) est égal à :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy' + zz'}\)

Les autres formules donnant le produit scalaire de deux vecteurs dans un plan muni d'un repère orthonormé sont encore valables dans l'espace muni d'un repère orthonormé :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\vert\vert\overrightarrow{u}\vert\vert^2+\vert\vert\overrightarrow{v}\vert\vert^2-\vert\vert\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\vert\vert^2\right)}\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\vert\vert\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\vert\vert^2-\vert\vert\overrightarrow{u}\vert\vert^2-\vert\vert\overrightarrow{v}\vert\vert^2\right)}\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\vert\vert\overrightarrow{u}\vert\vert\times\vert\vert\overrightarrow{v}\vert\vert\times \cos\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)}\)
  • Si \(\displaystyle{\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}=\overrightarrow{CD}}\), alors \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{CD}}\)A' et B' sont les projetés orthogonaux des points A et B sur \(\displaystyle{\left( CD \right)}\).

Vecteur normal

Un vecteur non nul \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.

-
  • On peut montrer que deux plans \(\displaystyle{\mathscr{P}}\) et \(\displaystyle{\mathscr{P'}}\) sont parallèles en montrant que leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
  • On peut montrer que deux plans \(\displaystyle{\mathscr{P}}\) et \(\displaystyle{\mathscr{P'}}\) sont perpendiculaires en montrant que leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

On peut étudier la position relative d'un plan et d'une droite en choisissant un vecteur normal au plan et un vecteur directeur de la droite.

Considérons un plan \(\displaystyle{\mathscr{P}}\) de vecteur normal \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) et une droite \(\displaystyle{\left( d \right)}\) de vecteur directeur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\).

  • Si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) sont orthogonaux, alors le plan \(\displaystyle{\mathscr{P}}\) et la droite \(\displaystyle{\left( d \right)}\) sont parallèles. Dans ce cas, pour déterminer si la droite \(\displaystyle{\left( d \right)}\) est incluse dans le plan \(\displaystyle{\mathscr{P}}\) ou non, il suffit de choisir un point de la droite \(\displaystyle{\left( d \right)}\) puis de vérifier s'il appartient au plan \(\displaystyle{\mathscr{P}}\).
  • Si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) ne sont pas orthogonaux, alors le plan \(\displaystyle{\mathscr{P}}\) et la droite \(\displaystyle{\left( d \right)}\) sont sécants.

Équation cartésienne d'un plan

Soient \(\displaystyle{\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a \cr b \cr c \end{pmatrix}}\) un vecteur non nul et d un réel.
Une équation cartésienne du plan P admettant \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) pour vecteur normal est :

\(\displaystyle{ax + by + cz + d = 0}\)

Réciproquement, un plan P de l'espace admet une équation cartésienne de la forme :

\(\displaystyle{ax + by + cz + d = 0}\)

Et le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a \cr b \cr c \end{pmatrix}}\) est alors normal à P.

L'intersection de deux plans sécants étant une droite, on peut donc définir une droite en donnant un système de deux équations cartésiennes de plans correspondant à deux plans non parallèles.

Autrement dit, le système \(\displaystyle{\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\a'x+b'y+c'z+d=0\\\end{cases}}\)\(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{n'}\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}}\) sont deux vecteurs non colinéaires.

À partir d'un système \(\displaystyle{\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\a'x+b'y+c'z+d'=0\\\end{cases}}\)\(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{n'}\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}}\) sont deux vecteurs non colinéaires, on peut retrouver un système d'équations paramétriques de la droite intersection des deux plans \(\displaystyle{\mathscr{P}}\) et \(\displaystyle{\mathscr{P'}}\) d'équations respectives \(\displaystyle{ax+by+cz+d=0}\) et \(\displaystyle{a'x+b'y+c'z+d'=0}\).

Il suffit de choisir, par exemple, \(\displaystyle{z=t}\) comme paramètre, puis de résoudre le système correspondant dans lequel les inconnues sont x et y.

Équation cartésienne d'une sphère

Dans un repère orthonormal, une équation cartésienne de la sphère de centre I \(\displaystyle{\left(a;b;c\right)}\) et de rayon R est :

\(\displaystyle{\left(x-a\right)^2 + \left(y-b\right)^2 + \left(z-c\right)^2 = R^2}\)