Probabilités Fiche brevet

I

Expérience aléatoire

Expérience aléatoire

On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat n'est pas prévisible de façon certaine.

Choisir une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes est une expérience aléatoire.

Éventualité (ou issue)

Les résultats possibles d'une expérience sont généralement appelés éventualités (ou issues).

Lorsque l'on choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes, chacune des cartes du jeu est une des éventualités.

Épreuve

On appelle épreuve une expérience dont les différentes issues sont aléatoires et auxquelles on peut attacher des fréquences d'apparition connues ou estimées.

Choisir une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes est une épreuve.

II

Événement

Événement

Un événement est un ensemble d'éventualités (ou d'issues).

-

On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.

\(\displaystyle{A}\) = "Obtenir un carreau" est un événement lié à cette expérience.

Événement contraire

On appelle événement contraire de l'événement \(\displaystyle{A}\), noté \(\displaystyle{\overline{A}}\), l'ensemble des éventualités qui ne sont pas dans \(\displaystyle{A}\).

Reprenons l'exemple précédent.

L'événement contraire de l'événement \(\displaystyle{A}\) est l'événement \(\overline{A}\) correspondant à "Ne pas obtenir un carreau" ou "Obtenir un cœur, un pique ou un trèfle".

Événement élémentaire

On appelle événement élémentaire tout événement ne contenant qu'une issue.

Reprenons l'exemple précédent.

L'événement "Obtenir le roi de pique" est un événement élémentaire.

III

Probabilité

Probabilité

Lorsque l'on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire de façon indépendante et dans les mêmes conditions, la fréquence de réalisation d'un événement \(E\) se rapproche d'un nombre que l'on appelle probabilité de cet événement. On le note \(p(E)\) .

Si on lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 un grand nombre de fois, la fréquence d'apparition de chacune des faces sera proche de \(\dfrac{1}{6}\).

La probabilité de chacun des événements "Obtenir le 1", "Obtenir le 2", "Obtenir le 3", "Obtenir le 4", "Obtenir le 5" et "Obtenir le 6" est donc \(\dfrac{1}{6}\).

Situation d'équiprobabilité

On appelle situation équiprobabilité une expérience où tous les événements élémentaires ont la même probabilité d'être réalisés.

L'exemple précédent correspond à une situation d'équiprobabilité.

Probabilité

En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement \(\displaystyle{A}\) est égale à :

\(\displaystyle{\dfrac{\text{Nombre d'éventualités favorables à } A}{\text{Nombre total d'éventualités}}}\)

On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.

On est dans une situation d'équiprobabilité dans laquelle chaque événement élémentaire a pour probabilité \(\dfrac{1}{32}\).

Notons \(A\) l'événement "Obtenir un cœur".

L'événement \(A\) contient 8 éventualités.

Sa probabilité est donc :

\(p(A)=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}\)

IV

Représentation graphique des issues

Arbre de probabilité

Pour visualiser toutes les éventualités d'une expérience comportant plusieurs apparitions chronologiques, on peut utiliser un arbre.

On lance une pièce équilibrée deux fois de suite, et on note les apparitions des "pile" ou "face" :

-

Tableau à double entrée

Pour visualiser toutes les éventualités d'une expérience comportant deux paramètres, on peut utiliser un tableau à double entrée.

On lance simultanément deux dés équilibrés, et on étudie le couple de numéros obtenu :

1er dé \ 2nd dé 1 2 3 4 5 6
1 (1 ; 1) (1 ; 2) (1 ; 3) (1 ; 4) (1 ; 5) (1 ; 6)
2 (2 ; 1) (2 ; 2) (2 ; 3) (2 ; 4) (2 ; 5) (2 ; 6)
3 (3 ; 1) (3 ; 2) (3 ; 3) (3 ; 4) (3 ; 5) (3 ; 6)
4 (4 ; 1) (4 ; 2) (4 ; 3) (4 ; 4) (4 ; 5) (4 ; 6)
5 (5 ; 1) (5 ; 2) (5 ; 3) (5 ; 4) (5 ; 5) (5 ; 6)
6 (6 ; 1) (6 ; 2) (6 ; 3) (6 ; 4) (6 ; 5) (6 ; 6)