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Dernière modification : 22/04/2026 - Conforme au programme 2025-2026
Probabilités conditionnelles
A et B sont deux événements d'une même expérience aléatoire tels que P(A)\neq 0.
La probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé est le nombre noté P_A(B) et défini par :
P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}
On parle de probabilités conditionnelles.
On peut utiliser un tableau pour calculer les probabilités conditionnelles.
On considère le tableau suivant :
| Externes | Non externes | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles | 110 | 550 | 660 |
| Garçons | 60 | 480 | 540 |
| Total | 170 | 1030 | 1200 |
La probabilité P_F(E) correspond à la probabilité de choisir un élève externe sachant que l'élève choisi est une fille.
Autrement dit, P_F(E) correspond à la probabilité de choisir un élève externe parmi les filles.
Le choix étant équiprobable, on a donc :
P_F(E)=\dfrac{\text{Nombre de filles externes}}{\text{Nombre de filles}}
P_F(E)=\dfrac{110}{660}
P_F(E)=\dfrac{1}{6}
Un arbre pondéré permet de représenter une situation probabiliste qui comporte des probabilités conditionnelles.
La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Dans un lycée comptant 800 élèves, 55% sont des filles. Parmi les filles, 10% sont internes. Le pourcentage est le même chez les garçons.
On choisit un élève au hasard dans ce lycée et admet que ces choix sont équiprobables.
On note F (resp. I) l'événement "l'élève choisi est une fille (resp. interne)".
On obtient l'arbre probabiliste suivant :
- La somme des probabilités des deux premières branches (c'est-à-dire issues de la racine) est 1.
- La somme des probabilités des probabilités des branches issues du noeud F est 1.
- La somme des probabilités des probabilités des branches issues du noeud \overline{F} est 1.
La probabilité de l'événement représenté par un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.
Dans un lycée comptant 800 élèves, 55% sont des filles. Parmi les filles, 10% sont internes. Le pourcentage est le même chez les garçons.
On choisit un élève au hasard dans ce lycée et admet que ces choix sont équiprobables.
On note F (resp. I) l'événement "l'élève choisi est une fille (resp. interne)".
On obtient l'arbre probabiliste suivant :
La probabilité de l'événement F\cap \overline{I} est :
P\left(F\cap \overline{I}\right)=P(F)\times P_F\left(\overline{I}\right).
On obtient :
P\left(F\cap \overline{I}\right)=0{,}55\times 0{,}90
P\left(F\cap \overline{I}\right)=0{,}495
Dans un atelier, 2 % des pièces fabriquées étant défectueuses, on décide de procéder à un contrôle. Le contrôle accepte 96 % des pièces bonnes et rejette 98 % des pièces défectueuses.
On choisit une pièce au hasard et admet que ces choix sont équiprobables.
On note A l'événement « la pièce est acceptée », et B l'événement « la pièce est bonne ».
On obtient l'arbre suivant :
La probabilité de l'événement « la pièce est bonne et refusée » est :
P\left( B\cap \overline{A}\right)=P(B)\times P_{B}\left(\overline{A}\right)
P\left( B\cap \overline{A}\right)=0{,}98\times 0{,}04
P\left( B\cap \overline{A}\right)=0{,}0392