Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne s'il a zéro ou deux sommets de degré impair. Il admet un cycle eulérien si tous ses sommets sont de degré pair.
On considère le graphe G suivant :
Déterminer si G admet un cycle eulérien ou une chaîne eulérienne.
Vérifier que le graphe est connexe
On vérifie que le graphe est connexe, c'est-à-dire que chaque couple de sommets du graphe est relié par une chaîne.
Chaque couple de sommets est relié par une chaîne. On en déduit que le graphe G est connexe.
Déterminer le degré de chacun des sommets
On détermine le degré de chacun des sommets.
On récapitule les résultats dans le tableau suivant le degré de chacun des sommets :
| Sommet | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Degré | 2 | 4 | 2 | 3 | 2 | 1 |
Compter le nombre de sommets de degré impair
On compte le nombre de sommets de degré impair.
On remarque que G possède deux sommets de degré impair (D et F).
Rappeler le cours
On énonce le théorème d'Euler :
- Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement s'il possède zéro ou deux sommet(s) de degré impair.
- Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement s'il ne possède que des sommets de degré pair.
D'après le théorème d'Euler :
- Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement s'il possède zéro ou deux sommet(s) de degré impair.
- Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement s'il ne possède que des sommets de degré pair.
Conclure
On en conclut que le graphe admet une chaîne eulérienne ou un cycle eulérien.
On en conclut que le graphe G admet une chaîne eulérienne.