Si f est dérivable en a, que vaut \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h} ?
Si f est dérivable en a, alors \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=f'\left(a\right).
Quelle est une équation de la tangente à C_f au point d'abscisse a ?
Une équation de la tangente à C_f au point d'abscisse a est : y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Soient u et v deux fonctions dérivables sur I. Quelle est la dérivée de f=u\times v ?
Si f=u\times v alors f'=u'v+uv'.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur I avec pour tout x\in I, v\left(x\right)\neq0. Quelle est la dérivée de f=\dfrac{u}{v} ?
Si f=\dfrac{u}{v} alors f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Soit u une fonction dérivable sur I et n\in\mathbb{N}^{\star}. Quelle est la dérivée de f=u^n ?
Si f=u^n alors f'=nu'u^{n-1}.
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur I. Quelle est la dérivée de f=\sqrt u ?
Si f=\sqrt u alors f'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}.
Sur quel intervalle la fonction x\longmapsto \sqrt x est-elle dérivable ?
La fonction x\longmapsto \sqrt x est dérivable sur \left] 0;+\infty \right[.
Quelle est la fonction dérivée de la fonction x\longmapsto\dfrac1x sur \left]0;+\infty\right[ ?
La fonction dérivée de la fonction x\longmapsto\dfrac1x sur \left]0;+\infty\right[ est x\longmapsto -\dfrac{1}{x^2}.
À quelle condition sur f' la fonction f est-elle croissante ?
f est croissante lorsque f' est positive.
Soient f dérivable sur un intervalle I et a\in I. Que peut-on dire si la dérivée f' s'annule en a ?
Si f'\left(a\right)=0, la courbe de f admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse a.
À quelle condition graphique peut-on dire qu'une fonction est continue ?
Une fonction est continue si on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon.
À quoi sert le théorème des valeurs intermédiaires ?
Le théorème des valeurs intermédiaires sert à prouver l'existence ou la non-existence de solutions à l'équation f\left(x\right)=k.
Quel est le signe de la fonction exponentielle ?
Pour tout réel x : e^{x} \gt 0.
Soient x et y deux réels. À quoi est équivalente l'égalité e^x=e^y ?
L'égalité e^x=e^y est équivalente à x=y.
Soient x et y deux réels. Que vaut \dfrac{e^x}{e^{y}} ?
\dfrac{e^x}{e^{y}}=e^{x-y}
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Quelle est la dérivée de la fonction composée e^{u} ?
La composée e^{u} est dérivable sur I, et pour tout réel x de I : \left(e^{u}\right)'\left(x\right) = u'\left(x\right) e^{u\left(x\right)}.
Quel est l'ensemble de définition de la fonction \ln ?
L'ensemble de définition de la fonction \ln est \mathbb{R}_{+}^{\star}.
Soit x un réel quelconque. Que vaut \ln\left(\text{e}^x\right) ?
Pour tout réel x : \ln\left(e^{x}\right) = x.
Quel est le signe de la fonction \ln sur \left]0;+\infty\right[ ?
La fonction \ln est positive sur \left[1;+\infty\right[ et négative sur \left]0;1\right].
Soient x et y deux réels strictement positifs. Que vaut \ln \left(\dfrac{x}{y}\right) ?
Pour tous réels x et y strictement positifs, \ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right).
Quelle est la dérivée sur \left]0;+\infty\right[ de la fonction x\longmapsto \ln x ?
La dérivée sur \left]0;+\infty\right[ de la fonction x\longmapsto \ln x est la fonction x\longmapsto \dfrac1x.
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Quelle est la dérivée de la fonction composée \ln\left(u\right) ?
La composée \ln\left(u\right) est dérivable sur I, et pour tout réel x de I : \left(\ln\left(u\right)\right)'\left(x\right) =\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}.
À quelle condition dit-on qu'une fonction est convexe sur un intervalle I ?
Une fonction est convexe sur l'intervalle I si sa courbe représentative est intégralement située au-dessus de chacune de ses tangentes sur I.
À quelle condition dit-on qu'une fonction est concave sur un intervalle I ?
Une fonction est concave sur l'intervalle I si sa courbe représentative est intégralement située au-dessous de chacune de ses tangentes sur I.
Qu'est-ce qu'un point d'inflexion sur une courbe ?
Un point d'inflexion est un point de la courbe où la fonction change de convexité.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Que peut-on dire de f' sur I si f est concave sur I ?
f est concave sur I si et seulement si f' est décroissante sur I.
Soit f une fonction dérivable deux fois sur l'intervalle I.
À quelle condition la courbe représentative de f admet-elle un point d'inflexion en A (a ; f\left(a\right)) ?
La courbe représentative de f admet un point d'inflexion en A (a ; f\left(a\right)) si et seulement si f'' s'annule en a en changeant de signe.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si la fonction F, dérivable sur I, est une primitive de f sur I, quelle relation peut-on écrire entre ces deux fonctions ?
Si la fonction F est une primitive de f sur I, alors on peut écrire que, pour tout réel x \in I \text{ , } F'\left(x\right) = f\left(x\right).
Soit n\in\mathbb{N}. Quelle est une des primitives, sur \mathbb{R}, de la fonction x\longmapsto x^n ?
Une des primitives, sur \mathbb{R}, de la fonction x\longmapsto x^n est la fonction x\longmapsto \dfrac{ x^{n+1}}{n+1}.
Quelle est une des primitives, sur \left]0;+\infty\right[, de la fonction x\longmapsto \dfrac{1}{\sqrt x} ?
Une des primitives, sur \left]0;+\infty\right[, de la fonction x\longmapsto \dfrac{1}{\sqrt x} est la fonction x\longmapsto 2\sqrt x.
Quelle est une des primitives, sur \left]0;+\infty\right[, de la fonction x\longmapsto \dfrac{1}{x} ?
Une des primitives, sur \left]0;+\infty\right[, de la fonction x\longmapsto \dfrac{1}{x} est la fonction x\longmapsto \ln\left(x\right).
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Quelle est une des primitives, sur I, de la fonction u'e^{u} ?
Une des primitives, sur I, de la fonction u'e^{u} est la fonction e^{u}.
Soit f une fonction continue sur un intervalle \left[a;b\right]. Que vaut la valeur moyenne de f sur \left[a;b\right] ?
La valeur moyenne de f sur \left[a;b\right] vaut \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx.
Soient f une fonction continue sur un intervalle I, a, b et c trois réels de I. D'après la relation de Chasles que vaut \int_{a}^{c} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{c}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx ?
D'après la relation de Chasles, \int_{a}^{c} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{c}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I tels que a\leq b.On suppose que pour tout x \in \left[a;b\right], f\left(x\right)\leq g\left(x\right). Que peut-on en déduire pour \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx et \int_{a}^{b} g\left(x\right) \ \mathrm dx ?
Si pour tout x \in \left[a;b\right], f\left(x\right)\leq g\left(x\right) alors \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \int_{a}^{b} g\left(x\right) \ \mathrm dx.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I. Quelle est la relation entre \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx et F une primitive de f ?
Si F est une primitive de f alors \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=F\left(b\right)-F\left(a\right).