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Les fonctions Fiche bac

I

Dérivation

Dérivées des fonctions usuelles

Soient un réel \(\displaystyle{\lambda}\) et un entier naturel n ; on désigne par \(\displaystyle{D_{f}}\) le domaine de définition de f et par \(\displaystyle{D_{f'}}\) son domaine de dérivabilité.

\(\displaystyle{f\left(x\right)}\) \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) \(\displaystyle{D_{f}}\) \(\displaystyle{D_{f'}}\)
\(\displaystyle{\lambda}\) \(\displaystyle{0}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
x \(\displaystyle{1}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x^{n} \left(n \geq 1\right)}\) \(\displaystyle{nx^{n-1}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{x^n}\left(n \geq 1\right)}\) \(\displaystyle{-\dfrac{n}{x^{n+1}}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\)
\(\displaystyle{\sqrt{x}}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+{\color{Red}*}}}\)

Dérivées et opérations

Soit un réel \(\displaystyle{\lambda}\), on désigne par u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

f \(\displaystyle{f'}\)
\(\displaystyle{\lambda u}\) \(\displaystyle{\lambda u'}\)
\(\displaystyle{u + v}\) \(\displaystyle{u' + v'}\)
\(\displaystyle{uv}\) \(\displaystyle{u'v + uv'}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{u}}\) (si u ne s'annule pas sur I) \(\displaystyle{-\dfrac{u'}{u^2}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{u}{v}}\) (si v ne s'annule pas sur I) \(\displaystyle{\dfrac{u'v–uv'}{v^2}}\)

\(\displaystyle{u^{n} \left(n \geq 1\right)}\)

\(\displaystyle{nu'u^{n-1}}\)

\(\displaystyle{\sqrt{u}}\) (si \(\displaystyle{u\left(x\right)}\) \(\displaystyle{{\color{Red}\gt}}\) \(\displaystyle{0}\) sur l'intervalle I)

\(\displaystyle{\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}}\)
II

Continuité

Fonction continue

Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon.

Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. Attention, la réciproque est fausse.

Théorème des valeurs intermédiaires

Soient f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que : \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).

-

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

  • Si f est continue sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) et si \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\) sont de signes opposés, alors f s'annule au moins une fois entre a et b.
  • Si f est continue et strictement monotone sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que : \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).
III

Convexité

Fonction convexe

Une fonction f est dite convexe sur I lorsque sa courbe est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.

Fonction concave

Une fonction f est dite concave sur I lorsque sa courbe est située entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes.

Fonction convexe et dérivées

La fonction f est convexe sur I si et seulement si la dérivée f' est croissante sur I, c'est-à-dire si sa dérivée seconde f'' est positive sur I.

Fonction concave et dérivées

La fonction f est concave sur I si et seulement si la dérivée f' est décroissante sur I, c'est-à-dire si sa dérivée seconde f'' est négative sur I.

Point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la représentation graphique d'une fonction traverse sa tangente en ce point, c'est-à-dire là où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.

IV

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle est la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=e^x}\).

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Soient deux réels x et y, et un entier n.

  • \(\displaystyle{e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y}\)
  • \(\displaystyle{e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y}\)
  • \(\displaystyle{e^{x+y} = e^{x} e^{y}}\)
  • \(\displaystyle{e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}}\)
  • \(\displaystyle{e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^{y}}}\)
  • \(\displaystyle{\left(e^{x}\right)^{n} = e^{nx}}\)

Dérivées

Fonction Dérivée
\(\displaystyle{e^x}\) \(\displaystyle{e^x}\)
\(\displaystyle{e^{u}}\) \(\displaystyle{u'e^{u}}\)
V

Fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\) est \(\displaystyle{f\left(x\right)=\ln\left(x\right)}\).

  • Pour tout réel x : \(\displaystyle{\ln\left(e^{x}\right) = x}\).
  • Pour tout réel x strictement positif : \(\displaystyle{e^{\ln\left(x\right)} = x}\).

Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n :

  • \(\displaystyle{\ln\left(xy\right) = \ln\left(x\right) + \ln\left(y\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)= - \ln\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln\left(x^{n}\right) = n \ln\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x\right)}\)

Dérivées

Fonction Dérivée
\(\displaystyle{\ln\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac1x}\)
\(\displaystyle{\ln\left(u\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac{u'}{u}}\)
VI

Primitives

Primitives des fonctions usuelles

Soient un entier n, k un réel ; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.

\(\displaystyle{f\left(x\right)}\) \(\displaystyle{F\left(x\right)}\) I
k \(\displaystyle{kx}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x^{n}}\) \(\displaystyle{\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}\) si \(\displaystyle{n \geq 1 \text{ }:\text{ } \mathbb{R}}\)

si \(\displaystyle{n \leq - 2\text{ } : \text{ }\left]- \infty ; 0\right[\text{U}\left]0 ; + \infty \right[}\)

\(\displaystyle{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\) \(\displaystyle{2\sqrt{x}}\) \(\displaystyle{\left]0 ; + \infty \right[}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{x}}\) \(\displaystyle{\ln\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\left]0 ; + \infty \right[}\)
\(\displaystyle{e^{x}}\) \(\displaystyle{e^{x}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)

Opérations et primitives

Soit un entier n différent de 0 et −1. On désigne par u et v deux fonctions dérivables sur l'intervalle I ; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.

f F Conditions
\(\displaystyle{u'u^{n}}\) \(\displaystyle{\dfrac{u^{n+1}}{n + 1}}\) si \(\displaystyle{n \leq- 2 \text{ }:\text{ } u\left(x\right) \neq 0}\) sur I
\(\displaystyle{\dfrac{u'}{u}}\) \(\displaystyle{\ln\left(u\right)}\) \(\displaystyle{u \gt 0}\)
\(\displaystyle{\dfrac{u'}{\sqrt{u}}}\) \(\displaystyle{2\sqrt{u}}\) \(\displaystyle{u \gt 0}\)
\(\displaystyle{u'e^{u}}\) \(\displaystyle{e^{u}}\)
VII

Intégrales

A

Aires et intégrales

Intégrale d'une fonction continue positive

Soient f une fonction continue et positive sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation \(\displaystyle{x = a}\) et \(\displaystyle{x = b}\).

-

Intégrale d'une fonction continue négative

Soient f une fonction continue et négative sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx }\) de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à l'opposé de l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation \(\displaystyle{x = a}\) et \(\displaystyle{x = b}\).

-

Intégrale d'une fonction continue

Soient f une fonction continue sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à la différence entre la somme des aires où f est positive et la somme des aires où f est négative.

-
B

Propriétés de l'intégrale

Valeur moyenne d'une fonction

On appelle valeur moyenne de f sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\) le réel :

\(\displaystyle{\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a, b et c trois réels de I, et k un réel quelconque.

  • \(\displaystyle{\int_{a}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx = 0}\)
  • \(\displaystyle{\int_{b}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx = - \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)
  • \(\displaystyle{\int_{a}^{b} kf\left(x\right) \ \mathrm dx = k \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)
  • Relation de Chasles : \(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx = \int_{a}^{c} f\left(x\right) \ \mathrm dx + \int_{c}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)
  • Linéarité : \(\displaystyle{\int_{a}^{b} \left(f\left(x\right) + g\left(x\right)\right) \ \mathrm dx = \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx + \int_{a}^{b} g\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que \(\displaystyle{a \leq b}\), m et M deux réels tels que \(\displaystyle{m \leq f \leq M}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\).

  • Positivité : si \(\displaystyle{f \geq 0}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \geq 0}\).
  • Comparaison : si \(\displaystyle{f \leq g}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \int_{a}^{b}g\left(x\right) \ \mathrm dx }\).
  • Inégalité de la moyenne : \(\displaystyle{m \left(b - a\right) \leq \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \leq M \left(b - a\right)}\).
C

Intégrale et primitives

Intégrale et primitives

Soient f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I, a et b deux réels de I :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(t\right) \ \mathrm dt = F\left(b\right) - F\left(a\right)}\)