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Médiane, écart-type Cours

I

La médiane

Médiane

Une médiane est une valeur statistique qui partage en deux parties égales une liste de données (classées par ordre croissant ou décroissant). En d'autres termes, il y a autant de données inférieures que supérieures à la médiane.

Les salaires des cinq médecins d'un cabinet sont de : 2500€ par mois, 3000€ par mois, 3200 € par mois, 3800 € par mois et 4000 € par mois.

Il y a cinq médecins donc le salaire médian se situe au milieu de cette série, c'est-à-dire pour le troisième médecin (lorsque les salaires sont classés par ordre croissant).

Dans cette série, le salaire médian est donc de 3200 € puisqu'il y a deux médecins qui gagnent moins de 3200 € et deux médecins qui gagnent plus.

Il faut bien prendre l'effectif cumulé des données pour trouver la médiane.

Dans une entreprise, 30 salariés gagnent 1000€ par mois, 80 salariés gagnent 1200€, 30 salariés gagnent 2000€ et 2 salariés gagnent 3000€.

Il y a donc 142 salariés dans cette entreprise. Pour trouver la médiane, il faut trouver le salaire du salarié se situant au milieu de cette série c'est-à-dire le 71e salarié.

  • Or, 30 salariés gagnent 1000€ donc le 71e salarié gagne plus de 1000€.
  • 80 salariés gagnent 1200€. Il y a donc 110 salariés qui gagnent moins de 1200€ (80 + 30). Donc le 71e salarié gagne 1200€.

En conclusion, le salaire médian est de 1200 euros, car il y autant de salariés qui gagnent moins de 1200 euros que de salariés qui gagnent plus de 1200 euros.

II

L'écart-type

A

Définition

Écart-type

L'écart-type est un outil statistique qui permet d'estimer la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.

  • Plus l'écart-type a une valeur élevée, plus les données sont dispersées par rapport à la moyenne.
  • L'unité de l'écart-type est la même que celle de la moyenne.
B

Formule de calcul

Écart-type

\(\displaystyle{\sigma = \sqrt{\dfrac{1}{\text{Nombre de données}} \left(\sum_{i=1}^{\text{Nombre de données}}x_{i}^{2}\right) - \overline{x}^{2}}}\)

Si une entreprise compte quatre salariés, rémunérés chacun 1500 euros, 1700 euros, 1800 euros et 2000 euros (la moyenne des salaires étant de 1750 euros), l'écart-type des salaires de cette entreprise est de :

\(\displaystyle{\sqrt{\dfrac{1}{4} \left(\sum_{i=1}^{4}x_{i}^{2}\right) - 1\ 750^{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{4} \left(1\ 500^{2} + 1\ 700^{2} + 1\ 800^{2} + 2\ 000^{2}\right) - 1\ 750^{2}} =180,278 }\)

C

Interprétation des résultats

Pour lire un écart-type, il faut :

  • Savoir avec quelle unité se lit l'écart-type (euros, nombre d'habitants, dollars, etc.)
  • Remarquer si l'écart-type est important ou non pour interpréter la dispersion des données (si elles sont éloignées ou non de la moyenne).

Dans l'exemple précédent concernant les salaires d'une entreprise dont l'écart type était de 180,278, la phrase correcte serait :

"L'écart-type des salaires pour cette entreprise est de 180,278 euros." (L'unité est l'euro puisqu'il s'agit de salaires.)

On remarque que ces valeurs ne sont pas très dispersées par rapport à la moyenne puisque les salaires sont compris entre 1500 et 2000 euros et que l'écart à la moyenne est de 180,278 euros.