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Les fractions

I

Écritures fractionnaires

Fraction d'une quantité

Les nombres a et b sont des entiers, avec \(\displaystyle{b\neq0}\). La fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) (lire "a sur b") représente une portion d'une chose :

  • Le nombre b indique en combien de parts égales on a divisé cette chose.
  • Le nombre a indique combien de ces parts on choisit.

Manon a mangé les \(\displaystyle{\dfrac{3}{4}}\) du gâteau. Cela signifie que si on découpe le gâteau en 4 parts égales, Manon en a mangées 3.

Numérateur et dénominateur

Soit \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) une fraction :

  • Le nombre a est appelé numérateur de la fraction.
  • Le nombre b est appelé dénominateur de la fraction.

Dans la fraction \(\displaystyle{\dfrac{3}{7}}\), le nombre 3 est le numérateur et le nombre 7 est le dénominateur.

Le dénominateur b ne peut jamais être égal à 0.

La fraction \(\displaystyle{\dfrac{51}{0}}\) n'existe pas, car la division par 0 est impossible.

Écriture fractionnaire

La fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est un nombre égal au quotient de la division de a par b :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} = a \div b}\)

On dit que \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est l'écriture fractionnaire du quotient.

Le quotient \(\displaystyle{75\div14}\) a pour écriture fractionnaire \(\displaystyle{\dfrac{75}{14}}\).

Lorsque la division de a par b ne se termine pas (le reste ne vaut jamais 0), la fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) représente la valeur exacte du quotient de cette division.

Dans la division de 5 par 3, le quotient ne possède pas une écriture décimale exacte, car le reste 2 se répète indéfiniment. En revanche, on peut exprimer la valeur exacte de ce quotient à l'aide de la fraction \(\displaystyle{\dfrac53}\).

La fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est le nombre qui, lorsqu'on le multiplie par \(\displaystyle{b}\), est égal à \(\displaystyle{a}\) :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} \times b = a}\)

\(\displaystyle{\dfrac37 \times 7 = 3}\)

Toute fraction peut s'écrire sous la forme d'un entier et d'une fraction dont le numérateur est strictement inférieur au dénominateur.

\(\displaystyle{\dfrac{7}{3}=\dfrac{6}{3}+\dfrac{1}{3}=2+\dfrac{1}{3}}\)

II

Égalité de fractions

Deux fractions sont égales si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant (ou divisant) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

\(\displaystyle{\dfrac{5}{2}=\dfrac{3\times5}{3\times2}=\dfrac{15}{6}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{16}{6}=\dfrac{2\times8}{2\times3}=\dfrac{8}{3}}\)

Autrement dit, un quotient conserve la même valeur si l'on multiplie (ou l'on divise) le numérateur et le dénominateur de l'une de ses écritures fractionnaires par un même nombre non nul.

Cette propriété n'est pas vraie avec l'addition ou la soustraction.

\(\displaystyle{\dfrac{3 + 4}{5 + 4} \neq \dfrac35}\)

Simplifier une fraction

Simplifier une fraction, c'est donner une fraction égale dont les numérateurs et dénominateurs sont plus petits que ceux de départ.

\(\displaystyle{\dfrac{45}{25}=\dfrac{45\div5}{25\div5}=\dfrac{9}{5}}\)

Ici, on divise le numérateur et le dénominateur de la fraction \(\displaystyle{\dfrac{45}{25}}\) par le même nombre entier 5 et on obtient une fraction simplifiée \(\displaystyle{\dfrac{9}{5}}\).

Pour simplifier une fraction, on doit connaître parfaitement les tables de multiplication ainsi que les critères de divisibilité.

III

Comparer, ranger, placer

Si \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) et \(\displaystyle{\dfrac{a'}{b}}\) sont deux fractions de même dénominateur, et si \(\displaystyle{a\lt a'}\), alors :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b}\lt \dfrac{a'}{b}}\)

On cherche à comparer \(\displaystyle{\dfrac{7}{5}}\) et \(\displaystyle{\dfrac{3}{5}}\). Ces deux fractions ont le même dénominateur. On compare leurs numérateurs :

\(\displaystyle{3\lt7}\)

Ainsi, on obtient :

\(\displaystyle{\dfrac{3}{5}\lt \dfrac{7}{5}}\)

Si \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) et \(\displaystyle{\dfrac{a}{b'}}\) sont deux fractions de même numérateur, et si \(\displaystyle{b\lt b'}\), alors :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b}\gt \dfrac{a}{b'}}\)

On cherche à comparer \(\displaystyle{\dfrac{11}{5}}\) et \(\displaystyle{\dfrac{11}{9}}\). Ces deux fractions ont le même numérateur. On compare leurs dénominateurs :

\(\displaystyle{5\lt9}\)

Ainsi, on obtient :

\(\displaystyle{\dfrac{11}{5}\gt \dfrac{11}{9}}\)

Pour comparer deux fractions de numérateurs et dénominateurs différents, on remplace au moins une des deux fractions par une fraction égale afin de se retrouver dans les cas des propriétés précédentes.

On cherche à comparer \(\displaystyle{\dfrac{8}{6}}\) et \(\displaystyle{\dfrac{2}{3}}\).

On remarque que ces deux fractions ont des numérateurs différents ainsi que des dénominateurs différents. On simplifie la première :

\(\displaystyle{\dfrac{8}{6}=\dfrac{2\times4}{2\times3}=\dfrac{4}{3}}\)

On doit désormais comparer \(\displaystyle{\dfrac{4}{3}}\) et \(\displaystyle{\dfrac{2}{3}}\). Ces deux fractions ont le même dénominateur. On compare leurs numérateurs :

\(\displaystyle{4\gt2}\)

Ainsi, on obtient :

\(\displaystyle{\dfrac{4}{3}\gt \dfrac{2}{3}}\)

Soit :

\(\displaystyle{\dfrac{8}{6}\gt \dfrac{2}{3}}\)

Soit \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) une fraction :

  • Si \(\displaystyle{a\gt b}\), alors \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est supérieur à 1.
  • Si \(\displaystyle{a\lt b}\), alors \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est inférieur à 1.
  • Si \(\displaystyle{a=b}\), alors \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est égal à 1.

On considère la fraction \(\displaystyle{\dfrac{9}{5}}\). On a :

\(\displaystyle{9\gt5}\)

Donc :

\(\displaystyle{\dfrac{9}{5}\gt1}\)

On considère la fraction \(\displaystyle{\dfrac{3}{4}}\). On a :

\(\displaystyle{3\lt4}\)

Donc :

\(\displaystyle{\dfrac{3}{4}\lt1}\)

Pour placer une fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) sur une demi-droite graduée :

  • On partage les unités en b parts.
  • On en prend a à partir de l'origine.

On souhaite placer la fraction \(\displaystyle{\dfrac{5}{3}}\) sur la demi-droite graduée suivante :

-

On découpe l'unité en 3 parts :

-

On prend 5 parts, afin de placer la fraction :

-
IV

Prendre la fraction d'un nombre

Pour multiplier un nombre k par une fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\), on peut au choix :

  • Multiplier k par le résultat de la division de a par b : \(\displaystyle{k \times \dfrac{a}{b}}\).
  • Multiplier k par a et diviser le résultat par b : \(\displaystyle{\dfrac{k \times a}{b}}\).
  • Diviser k par b et multiplier le résultat par a : \(\displaystyle{\dfrac{k}{b} \times a}\).

Pour multiplier le nombre 35 par \(\displaystyle{\dfrac{2}{5}}\), on peut effectuer le calcul des trois façons suivantes :

  • \(\displaystyle{35\times\dfrac{2}{5}=35\times0,4=14}\)
  • \(\displaystyle{\dfrac{35\times2}{5}=\dfrac{70}{5}=14}\)
  • \(\displaystyle{\dfrac{35}{5}\times2=7\times2=14}\)

La pointure de Théo est 40. Celle d'Emma est égale à sept huitième de celle de Théo.
Pour calculer la pointure d'Emma, on calcule donc :

\(\displaystyle{\dfrac{7}{8} \times 40 = 7 \times \dfrac{40}{8} = 7 \times 5 = 35}\)

La pointure d'Emma est ainsi 35.

Lorsque l'on multiplie le nombre k par la fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\), on dit qu'on prend les \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) de k.

Prendre les trois quarts de 10 revient à multiplier 10 par \(\displaystyle{\dfrac{3}{4}}\).

Le pourcentage est un cas particulier de la propriété précédente. Prendre t% d'une quantité revient à multiplier cette quantité par \(\displaystyle{\dfrac{t}{100}}\).

On dépense 20% d'une cagnotte de 15€. On a donc dépensé :

\(\displaystyle{15\times\dfrac{20}{100}=3}\)

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