Sixième 2016-2017
Kartable
Sixième 2016-2017
I

Écritures fractionnaires

Fraction d'une quantité

Les nombres a et b sont des entiers, avec b0. La fraction ab (lire "a sur b") représente une portion d'une chose :

  • Le nombre b indique en combien de parts égales on a divisé cette chose.
  • Le nombre a indique combien de ces parts on choisit.

Manon a mangé les 34 du gâteau. Cela signifie que si on découpe le gâteau en 4 parts égales, Manon en a mangées 3.

Numérateur et dénominateur

Soit ab une fraction :

  • Le nombre a est appelé numérateur de la fraction.
  • Le nombre b est appelé dénominateur de la fraction.

Dans la fraction 37, le nombre 3 est le numérateur et le nombre 7 est le dénominateur.

Le dénominateur b ne peut jamais être égal à 0.

La fraction 510 n'existe pas, car la division par 0 est impossible.

Écriture fractionnaire

La fraction ab est un nombre égal au quotient de la division de a par b :

ab=a÷b

On dit que ab est l'écriture fractionnaire du quotient.

Le quotient 75÷14 a pour écriture fractionnaire 7514.

Lorsque la division de a par b ne se termine pas (le reste ne vaut jamais 0), la fraction ab représente la valeur exacte du quotient de cette division.

Dans la division de 5 par 3, le quotient ne possède pas une écriture décimale exacte, car le reste 2 se répète indéfiniment. En revanche, on peut exprimer la valeur exacte de ce quotient à l'aide de la fraction 53.

La fraction ab est le nombre qui, lorsqu'on le multiplie par b, est égal à a :

ab×b=a

37×7=3

Toute fraction peut s'écrire sous la forme d'un entier et d'une fraction dont le numérateur est strictement inférieur au dénominateur.

73=63+13=2+13

II

Égalité de fractions

Deux fractions sont égales si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant (ou divisant) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

52=3×53×2=156

166=2×82×3=83

Autrement dit, un quotient conserve la même valeur si l'on multiplie (ou l'on divise) le numérateur et le dénominateur de l'une de ses écritures fractionnaires par un même nombre non nul.

Cette propriété n'est pas vraie avec l'addition ou la soustraction.

3+45+435

Simplifier une fraction

Simplifier une fraction, c'est donner une fraction égale dont les numérateurs et dénominateurs sont plus petits que ceux de départ.

4525=45÷525÷5=95

Ici, on divise le numérateur et le dénominateur de la fraction 4525 par le même nombre entier 5 et on obtient une fraction simplifiée 95.

Pour simplifier une fraction, on doit connaître parfaitement les tables de multiplication ainsi que les critères de divisibilité.

III

Comparer, ranger, placer

Si ab et ab sont deux fractions de même dénominateur, et si a<a, alors :

ab<ab

On cherche à comparer 75 et 35. Ces deux fractions ont le même dénominateur. On compare leurs numérateurs :

3<5

Ainsi, on obtient :

35<75

Si ab et ab sont deux fractions de même numérateur, et si b<b, alors :

ab>ab

On cherche à comparer 115 et 119. Ces deux fractions ont le même numérateur. On compare leurs dénominateurs :

5<9

Ainsi, on obtient :

115>119

Pour comparer deux fractions de numérateurs et dénominateurs différents, on remplace au moins une des deux fractions par une fraction égale afin de se retrouver dans les cas des propriétés précédentes.

On cherche à comparer 86 et 23.

On remarque que ces deux fractions ont des numérateurs différents ainsi que des dénominateurs différents. On simplifie la première :

86=2×42×3=43

On doit désormais comparer 43 et 23. Ces deux fractions ont le même dénominateur. On compare leurs numérateurs :

4>2

Ainsi, on obtient :

43>23

Soit :

86>23

Soit ab une fraction :

  • Si a>b, alors ab est supérieur à 1.
  • Si a<b, alors ab est inférieur à 1.
  • Si a=b, alors ab est égal à 1.

On considère la fraction 95. On a :

9>5

Donc :

95>1

On considère la fraction 34. On a :

3<4

Donc :

34<1

Pour placer une fraction ab sur une demi-droite graduée :

  • On partage les unités en b parts.
  • On en prend a à partir de l'origine.

On souhaite placer la fraction 53 sur la demi-droite graduée suivante :

-

On découpe l'unité en 3 parts :

-

On prend 5 parts, afin de placer la fraction :

-
IV

Prendre la fraction d'un nombre

Pour multiplier un nombre k par une fraction ab, on peut au choix :

  • Multiplier k par le résultat de la division de a par b : k×ab.
  • Multiplier k par a et diviser le résultat par b : k×ab.
  • Diviser k par b et multiplier le résultat par a : kb×a.

Pour multiplier le nombre 35 par 25, on peut effectuer le calcul des trois façons suivantes :

  • 35×25=35×0,4=14
  • 35×25=705=14
  • 355×2=7×2=14

La pointure de Théo est 40. Celle d'Emma est égale à sept huitième de celle de Théo.
Pour calculer la pointure d'Emma, on calcule donc :

78×40=7×408=7×5=35

La pointure d'Emma est ainsi 35.

Lorsque l'on multiplie le nombre k par la fraction ab, on dit qu'on prend les ab de k.

Prendre les trois quarts de 10 revient à multiplier 10 par 34.

Le pourcentage est un cas particulier de la propriété précédente. Prendre t% d'une quantité revient à multiplier cette quantité par t100.

On dépense 20% d'une cagnotte de 15€. On a donc dépensé :

15×20100=3

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.