Sixième 2016-2017

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Les nombres entiers

I

Perspective historique sur la numération

De tout temps, les êtres humains ont eu besoin de compter. La numérotation chez les Mayas, les Aztèques ou les Égyptiens n'était pas la même que celle que nous utilisons à l'heure actuelle. Cependant, toutes les numérations utilisent d'une façon ou d'une autre des règles d'échange permettant de représenter les grands nombres de façon synthétique.

La plus répandue dans le monde est la règle d'échange "dix contre un", c'est-à-dire la base 10. L'objectif est de partager une quantité en paquets de dix (cent, mille, etc.). La plupart des langues vivantes décomposent aujourd'hui les nombres ainsi, notamment car le compte sur les dix doigts des mains est très intuitif.

On note quelques repères historiques :

  • Les premiers systèmes de numérotation semblent apparaître vers −2000 avant J.-C.
  • Le zéro apparaît dans la numérotation babylonienne vers le IIIe siècle avant J.-C.
  • Les chiffres de "un" à "neuf" ont été inventés en Inde avant notre ère. Ils apparaissent dans des inscriptions de Nana Ghât au IIIe siècle avant J.-C., mais le principe de position n'y est pas appliqué.
  • Les ancêtres des chiffres utilisés aujourd'hui apparaissent au Maghreb et dans la péninsule ibérique vers le Xe siècle.
II

La numération

On utilise dix chiffres pour écrire un nombre entier : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

1243 est composé des chiffres 1, 2, 3 et 4, de la manière suivante :

Chiffre des milliers Chiffre des centaines Chiffre des dizaines Chiffre des unités
1 2 4 3

2431 est également composé des chiffres 1, 2, 3 et 4, mais dans un ordre différent :

Chiffre des milliers Chiffre des centaines Chiffre des dizaines Chiffre des unités
2 4 3 1

La position qu'occupe un chiffre dans un nombre indique combien ce nombre comporte d'unités, de dizaines, de centaines, de milliers, etc. Si l'on change l'ordre des chiffres d'un nombre, on obtient ainsi le plus souvent un nombre différent.

Dans le nombre 1 746 235 (un million sept cent quarante-six mille deux cent trente-cinq) :

  • 5 est le chiffre des unités
  • 3 est le chiffre des dizaines
  • 2 est le chiffre des centaines
  • 6 est le chiffre des milliers
  • 4 est le chiffre des dizaines de milliers
  • 7 est le chiffre des centaines de milliers
  • 1 est le chiffre des millions

En utilisant les mêmes chiffres dans un ordre différent on peut obtenir le nombre 7 456 231.

III

Comparer, ranger, placer

Comparaison de deux nombres entiers

Comparer deux nombres signifie déterminer lequel est le plus grand (ou le plus petit), ou bien s'ils sont égaux :

  • Si le nombre a est plus petit que le nombre b, on dit que a est strictement inférieur à b et on note \(\displaystyle{a\lt b }\).
  • Si le nombre a est plus grand que le nombre b, on dit que a est strictement supérieur à b et on note \(\displaystyle{a\gt b }\).
  • Si le nombre a est égal au nombre b, on note \(\displaystyle{a=b}\).

15 est plus petit que 45 donc 15 est strictement inférieur à 45 et on note \(\displaystyle{15\lt45}\).

56 est plus grand que 23 donc 56 est strictement supérieur à 23 et on note \(\displaystyle{56\gt 23}\).

On distingue deux cas :

  • Si le nombre a est plus petit que le nombre b, mais n'est pas égal à b, on dit que a est strictement inférieur à b et on note \(\displaystyle{a\lt b }\).
  • Si le nombre a est plus petit que le nombre b, et peut être égal à b, on dit que a est inférieur ou égal à b et on note \(\displaystyle{a\leqslant b }\).

De même :

  • Si le nombre a est plus grand que le nombre b, mais n'est pas égal à b, on dit que a est strictement supérieur à b et on note \(\displaystyle{a\gt b }\).
  • Si le nombre a est plus grand que le nombre b, et peut être égal à b, on dit que a est supérieur ou égal à b et on note \(\displaystyle{a\geqslant b }\).

Rangement par ordre croissant ou décroissant

  • Ranger des nombres par ordre croissant, c'est les ranger du plus petit au plus grand.
  • Ranger des nombres par ordre décroissant, c'est les ranger du plus grand au plus petit.

Les nombres suivants sont rangés par ordre croissant :

\(\displaystyle{3\lt5\lt8\lt12}\)

Les nombres suivants sont rangés par ordre décroissant :

\(\displaystyle{45\gt26\gt13\gt2}\)

Demi-droite graduée

Une demi-droite graduée est une demi-droite découpée, à partir de l'origine, selon une unité de longueur fixe.

-

Abscisse d'un point

L'abscisse d'un point situé sur une demi-droite graduée est le nombre permettant de repérer le point sur cet axe.

-

Pour déterminer l'abscisse du point A, on compte le nombre de graduations, sachant que chaque graduation correspond à une longueur de 1. L'abscisse du point A est donc égale à 3.

-

Ici, l'abscisse du point B est égale à 6.