Troisième 2015-2016
Kartable
Troisième 2015-2016

La géométrie dans l'espace

I

Les prismes

A

Définition

Prisme

Le prisme est un solide possédant deux bases polygonales parallèles et superposables.

-

Le prisme droit possède de plus des arêtes latérales perpendiculaires aux bases.

B

Volume

Volume d'un prisme

Le volume d'un prisme de base d'aire et de hauteur h est égal à :

=h×

-

Le volume de ce prisme est égal à :

V=(3×4)÷2aire du triangle rectangle×8=6×8=48 cm3

II

Les parallélépipèdes rectangles

A

Le pavé

Parallélépipède rectangle

Le pavé (droit) ou parallélépipède rectangle est un prisme droit à bases rectangulaires.

-

Volume d'un pavé droit

Le volume d'un pavé (droit) est égal à :

=L×l×h

-

Le volume de ce parallélépipède rectangle est égal à :

V=6×5×3=90 cm3.

B

Le cube

Cube

Le cube est un prisme droit à bases carrées.

-

Volume d'un cube

Le volume d'un cube de côté a est égal à :

=a3

-

Le volume de ce cube est :

V=53=125 cm3

III

Le cylindre

A

Définition

Cylindre de révolution

Un cylindre de révolution est un solide formé de deux disques parallèles superposables qui sont ses bases, et d'une surface latérale correspondant à un rectangle enroulé le long des bases.

B

Volume

Volume d'un cylindre

Le volume d'un cylindre de base de rayon r et de hauteur h est égal à :

=h×π×r2

-
-

Le volume V du cylindre ci-dessus est égal à :

V=π×32×7=π×9×7=63π cm3.

C

Aire latérale

Aire latérale d'un cylindre

L'aire latérale d'un cylindre de base de rayon r et de hauteur h est égale à :

=h×2π×r

-
-

L'aire latérale du cylindre ci-dessus est égale à :

A=7×2π×3=42π cm2

D

Section plane

Section plane d'un cylindre

La section plane d'un cylindre par un plan parallèle à ses bases est un cercle de même rayon que les bases du cylindre.

-

Dans toute section plane de cylindre, on peut appliquer les propriétés vues dans le plan (par exemple les théorèmes de Pythagore ou Thalès).

IV

Le cône de révolution

A

Volume

Volume d'un cône

Le volume d'un cône de révolution de base de rayon r et de hauteur h est égal à :

=13×h×π×r2

-
-

Le volume du cône ci-dessus est :

V=13×10×π×62=120π cm3

Soit :

V377 cm3

B

Aire latérale

Aire latérale d'un cône

L'aire latérale d'un cône de révolution de base de rayon r et de génératrice g est égale à :

=g×π×r

-
-

L'aire latérale du cône ci-dessus est :

A=11×π×3=33π cm2

Soit :

A104 cm2

C

Section plane

Section plane d'un cône

La section plane d'un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est une réduction de sa base.
Le nouveau cône ainsi créé est une réduction du cône initial.

-

Dans toute section plane de cône, on peut appliquer les propriétés vues dans le plan (par exemple les théorèmes de Pythagore ou Thalès).

V

Les pyramides

A

Volume

Volume d'une pyramide

Le volume d'une pyramide de base d'aire et de hauteur h est égal à :

=13×h×

-
-

La pyramide à base carrée ci-dessus a pour volume :

V=13×7×(6×6)=84 cm3

B

Section plane

Section plane d'une pyramide

La section plane d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de sa base.
La nouvelle pyramide ainsi créée est une réduction de la pyramide initiale.

-

Dans toute section plane de pyramide, on peut appliquer les propriétés vues dans le plan (par exemple les théorèmes de Pythagore ou Thalès).

VI

Boule et sphère

A

Volume d'une boule

Volume d'une boule

Le volume d'une boule de rayon r est égal à :

=43×π×r3

-
-

Le volume de la boule ci-dessus est :

V=43×π×63=8643π=288π cm3

On parle en général de sphère pour désigner le solide vide, et de boule pour désigner le volume plein.

B

Aire d'une sphère

Aire d'une sphère

L'aire d'une sphère de rayon r est égale à :

=4×π×r2

-

L'aire de la sphère ci-dessus est :

A=4×π×62=144π cm2

C

Section plane

Section plane d'une sphère

La section plane d'une sphère de rayon r par un plan est un cercle de rayon compris entre 0 et r.

-

Dans toute section plane de sphère, on peut appliquer les propriétés vues dans le plan.

VII

Réduction et agrandissement

A

Les coefficients de réduction et d'agrandissement

Lors d'un agrandissement ou d'une réduction, le solide est transformé en un solide de même nature.

-

Rapport de réduction

Le rapport de réduction d'une configuration est égal au rapport d'une longueur de la figure réduite par la longueur correspondante de la figure initiale.

-

Le cube 2 est une réduction du cube 1. Le rapport de réduction est 38.

Rapport d'agrandissement

Le rapport d'agrandissement d'une configuration est égal au rapport d'une longueur de la figure agrandie par la longueur correspondante de la figure initiale.

-

Le cube 1 est un agrandissement du cube 2. Le rapport d'agrandissement est 83.

B

Le volume d'une réduction ou d'un agrandissement

Dans une réduction ou un agrandissement de coefficient k ( k non nul), les volumes sont multipliés par k3.

-

Le cube 2, est une réduction de rapport k=38, du cube 1, de volume V1=83=512 cm3.

Le cube 2 a donc pour volume :

V2=k3×V1=(38)3×512=27×512512=27 cm3

Soit :

V2=27 cm3

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