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La géométrie dans l'espace

I

Les prismes

A

Définition

Prisme

Le prisme est un solide possédant deux bases polygonales parallèles et superposables.

-

Le prisme droit possède de plus des arêtes latérales perpendiculaires aux bases.

B

Volume

Volume d'un prisme

Le volume \(\displaystyle{\mathcal{V}}\) d'un prisme de base d'aire \(\displaystyle{\mathcal{B}}\) et de hauteur \(\displaystyle{h}\) est égal à :

\(\displaystyle{\mathcal{V} = h \times \mathcal{B}}\)

-

Le volume de ce prisme est égal à :

\(\displaystyle{V=\underbrace{\left(3 \times 4\right) \div 2}_{\text{aire du triangle rectangle}} \times 8 = 6 \times 8 = 48}\) cm3

II

Les parallélépipèdes rectangles

A

Le pavé

Parallélépipède rectangle

Le pavé (droit) ou parallélépipède rectangle est un prisme droit à bases rectangulaires.

-

Volume d'un pavé droit

Le volume \(\displaystyle{\mathcal{V}}\) d'un pavé (droit) est égal à :

\(\displaystyle{\mathcal{V} = L \times l \times h}\)

-

Le volume de ce parallélépipède rectangle est égal à :

\(\displaystyle{V=6 \times 5 \times 3 = 90}\) cm3.

B

Le cube

Cube

Le cube est un prisme droit à bases carrées.

-

Volume d'un cube

Le volume \(\displaystyle{\mathcal{V}}\) d'un cube de côté \(\displaystyle{a}\) est égal à :

\(\displaystyle{\mathcal{V} = a^{3}}\)

-

Le volume de ce cube est :

\(\displaystyle{V=5^3=125}\) cm3

III

Le cylindre

A

Définition

Cylindre de révolution

Un cylindre de révolution est un solide formé de deux disques parallèles superposables qui sont ses bases, et d'une surface latérale correspondant à un rectangle enroulé le long des bases.

B

Volume

Volume d'un cylindre

Le volume \(\displaystyle{\mathcal{V}}\) d'un cylindre de base de rayon \(\displaystyle{r}\) et de hauteur \(\displaystyle{h}\) est égal à :

\(\displaystyle{\mathcal{V} = h \times \pi \times r^{2}}\)

-
-

Le volume \(\displaystyle{V}\) du cylindre ci-dessus est égal à :

\(\displaystyle{V=\pi \times 3^2 \times 7 = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi }\) cm3.

C

Aire latérale

Aire latérale d'un cylindre

L'aire latérale \(\displaystyle{\mathcal{A}}\) d'un cylindre de base de rayon \(\displaystyle{r}\) et de hauteur \(\displaystyle{h}\) est égale à :

\(\displaystyle{\mathcal{A} = h \times 2\pi \times r}\)

-
-

L'aire latérale du cylindre ci-dessus est égale à :

\(\displaystyle{A=7\times2\pi\times 3=42\pi}\) cm2

D

Section plane

Section plane d'un cylindre

La section plane d'un cylindre par un plan parallèle à ses bases est un cercle de même rayon que les bases du cylindre.

-

Dans toute section plane de cylindre, on peut appliquer les propriétés vues dans le plan (par exemple les théorèmes de Pythagore ou Thalès).

IV

Le cône de révolution

A

Volume

Volume d'un cône

Le volume \(\displaystyle{\mathcal{V}}\) d'un cône de révolution de base de rayon \(\displaystyle{r}\) et de hauteur \(\displaystyle{h}\) est égal à :

\(\displaystyle{\mathcal{V} =\dfrac{1}{3}\times h \times \pi \times r^{2}}\)

-
-

Le volume du cône ci-dessus est :

\(\displaystyle{V=\dfrac13\times10\times\pi\times6^2=120\pi}\) cm3

Soit :

\(\displaystyle{V\approx377}\) cm3

B

Aire latérale

Aire latérale d'un cône

L'aire latérale \(\displaystyle{\mathcal{A}}\) d'un cône de révolution de base de rayon \(\displaystyle{r}\) et de génératrice \(\displaystyle{g}\) est égale à :

\(\displaystyle{\mathcal{A} = g \times \pi \times r}\)

-
-

L'aire latérale du cône ci-dessus est :

\(\displaystyle{A=11\times\pi\times3=33\pi}\) cm2

Soit :

\(\displaystyle{A\approx104}\) cm2

C

Section plane

Section plane d'un cône

La section plane d'un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est une réduction de sa base.
Le nouveau cône ainsi créé est une réduction du cône initial.

-

Dans toute section plane de cône, on peut appliquer les propriétés vues dans le plan (par exemple les théorèmes de Pythagore ou Thalès).

V

Les pyramides

A

Volume

Volume d'une pyramide

Le volume \(\displaystyle{\mathcal{V}}\) d'une pyramide de base d'aire \(\displaystyle{\mathcal{B}}\) et de hauteur \(\displaystyle{h}\) est égal à :

\(\displaystyle{\mathcal{V} =\dfrac{1}{3}\times h \times \mathcal{B}}\)

-
-

La pyramide à base carrée ci-dessus a pour volume :

\(\displaystyle{V=\dfrac13\times7\times\left(6\times6\right)=84}\) cm3

B

Section plane

Section plane d'une pyramide

La section plane d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de sa base.
La nouvelle pyramide ainsi créée est une réduction de la pyramide initiale.

-

Dans toute section plane de pyramide, on peut appliquer les propriétés vues dans le plan (par exemple les théorèmes de Pythagore ou Thalès).

VI

Boule et sphère

A

Volume d'une boule

Volume d'une boule

Le volume \(\displaystyle{\mathcal{V}}\) d'une boule de rayon \(\displaystyle{r}\) est égal à :

\(\displaystyle{\mathcal{V} =\dfrac{4}{3}\times \pi \times r^{3}}\)

-
-

Le volume de la boule ci-dessus est :

\(\displaystyle{V=\dfrac43\times\pi\times6^3=\dfrac{864}{3}\pi=288\pi}\) cm3

On parle en général de sphère pour désigner le solide vide, et de boule pour désigner le volume plein.

B

Aire d'une sphère

Aire d'une sphère

L'aire \(\displaystyle{\mathcal{A}}\) d'une sphère de rayon \(\displaystyle{r}\) est égale à :

\(\displaystyle{\mathcal{A} = 4 \times \pi \times r^{2}}\)

-

L'aire de la sphère ci-dessus est :

\(\displaystyle{A=4\times\pi\times6^2=144\pi}\) cm2

C

Section plane

Section plane d'une sphère

La section plane d'une sphère de rayon \(\displaystyle{r}\) par un plan est un cercle de rayon compris entre 0 et \(\displaystyle{r}\).

-

Dans toute section plane de sphère, on peut appliquer les propriétés vues dans le plan.

VII

Réduction et agrandissement

A

Les coefficients de réduction et d'agrandissement

Lors d'un agrandissement ou d'une réduction, le solide est transformé en un solide de même nature.

-

Rapport de réduction

Le rapport de réduction d'une configuration est égal au rapport d'une longueur de la figure réduite par la longueur correspondante de la figure initiale.

-

Le cube 2 est une réduction du cube 1. Le rapport de réduction est \(\displaystyle{\dfrac38}\).

Rapport d'agrandissement

Le rapport d'agrandissement d'une configuration est égal au rapport d'une longueur de la figure agrandie par la longueur correspondante de la figure initiale.

-

Le cube 1 est un agrandissement du cube 2. Le rapport d'agrandissement est \(\displaystyle{\dfrac83}\).

B

Le volume d'une réduction ou d'un agrandissement

Dans une réduction ou un agrandissement de coefficient \(\displaystyle{k}\) ( \(\displaystyle{k}\) non nul), les volumes sont multipliés par \(\displaystyle{k^{3}}\).

-

Le cube 2, est une réduction de rapport \(\displaystyle{k=\dfrac38}\), du cube 1, de volume \(\displaystyle{V_1=8^3=512}\) cm3.

Le cube 2 a donc pour volume :

\(\displaystyle{V_2=k^3\times V_1=\left( \dfrac38 \right)^3\times512= \dfrac{27\times512}{512}=27}\) cm3

Soit :

\(\displaystyle{V_2=27}\) cm3

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