Troisième 2015-2016
Kartable
Troisième 2015-2016

La géométrie plane

I

Les angles

A

Les angles interceptant un arc de cercle

Arc de cercle

Si A et B sont deux points d'un cercle, on appelle arc de cercle la portion du cercle délimitée par les points A et B. On note cet arc de cercle : AB.

-

Angle interceptant un arc de cercle

Lorsque les côtés d'un angle dont le sommet est à l'intérieur d'un cercle recoupent ce cercle, on dit qu'il intercepte un arc de cercle.

-
B

Les angles au centre

Angle au centre

Un angle au centre, dans un cercle, est un angle dont le sommet est le centre du cercle.

-

Angles au centre interceptant le même arc

Si deux angles au centre d'un même cercle sont égaux alors ils interceptent des arcs de même longueur.

Les angles au centre CODˆ et AOBˆ ont la même mesure donc les arcs CD et AB ont la même longueur.

-
C

Les angles inscrits

Angle inscrit

Un angle inscrit dans un cercle, est un angle dont le sommet est un point du cercle, et dont les côtés coupent le cercle.

-

Angles inscrits interceptant le même arc

Si deux angles inscrits dans un même cercle interceptent le même arc alors ils sont égaux.

-
D

Lien entre angle inscrit et angle au centre

Angle inscrit et angle au centre

Un angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

Les angles inscrits AMBˆ et AMBˆ, ainsi que l'angle au centre AOBˆ interceptent le même arc de cercle AB. On a donc AMBˆ=AMBˆ=12AOBˆ.

-
II

Les droites remarquables des triangles

A

Les hauteurs

Hauteurs et orthocentre

Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé orthocentre du triangle.

-
Une des hauteurs peut être située "à l'extérieur" du triangle.
-
B

Les médianes

Médianes et centre de gravité

Une médiane d'un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé centre de gravité du triangle, et est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant des sommets respectifs.

-
C

Les médiatrices

Médiatrices et centre du cercle circonscrit

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu. Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle.

-
D

Les bissectrices

Bissectrices et centre du cercle inscrit

La bissectrice d'un angle est la demi-droite partant du sommet de l'angle qui le divise en deux angles égaux. Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

-
III

Les quadrilatères particuliers

A

Caractérisation d'un parallélogramme

Caractérisation d'un parallélogramme

Si un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) a :
  • Ses côtés opposés parallèles deux à deux

ou

  • Ses côtés opposés deux à deux de même longueur

ou

  • Deux côtés parallèles et de même longueur

ou

  • Ses diagonales qui se coupent en leur milieu
alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
B

Caractérisation d'un losange

Caractérisation d'un losange à partir d'un quadrilatère quelconque

Si un quadrilatère a tous ses côtés de même longueur alors ce quadrilatère est un losange.

Caractérisation d'un losange à partir d'un parallélogramme

Si un parallélogramme a :
  • Deux côtés consécutifs de même longueur

ou

  • Ses diagonales qui sont perpendiculaires
alors ce parallélogramme est un losange.
C

Caractérisation d'un rectangle

Caractérisation d'un rectangle à partir d'un quadrilatère quelconque

Si un quadrilatère a trois angles droits alors ce quadrilatère est un rectangle.

Caractérisation d'un rectangle à partir d'un parallélogramme

Si un parallélogramme a :
  • Un de ses angles droit

ou

  • Ses diagonales qui sont de même longueur
alors ce parallélogramme est un rectangle.
D

Caractérisation d'un carré

Caractérisation d'un carré

Si un quadrilatère est à la fois losange et rectangle alors ce quadrilatère est un carré.

IV

Les polygones réguliers

A

Les caractéristiques d'un polygone régulier

Polygone régulier

Un polygone est régulier si tous ses angles sont égaux et tous ses côtés sont de même longueur.

  • Il existe un cercle circonscrit à tout polygone régulier.
  • Tous les angles au centre, formés par deux côtés issus de deux sommets consécutifs, sont égaux, et mesurent chacun 360n dans le cas d'un polygone régulier à n côtés.

Le pentagone régulier a 5 côtés de même longueur et ses angles au centre mesurent tous : 3605=72.

-
B

Exemples de polygones réguliers

Polygones réguliers usuels

Le triangle équilatéral, le carré, le pentagone régulier, l'hexagone régulier, l'octogone, etc. sont des polygones réguliers.

-
V

Aires de figures usuelles

A

Aire d'un triangle

L'aire d'un triangle est égale à la longueur d'une hauteur multipliée par celle du côté opposé, le tout divisé par 2 :

=hauteur×côté2

-

L'aire de ce triangle est égale à :

A=4×62=12 cm2

B

Aire d'un rectangle

L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur est égale à :

=L×

-

L'aire de ce rectangle est égale à :

A=3×5=15 cm2

C

Aire d'un carré

L'aire d'un carré de côté a est égale à :

=a×a

-

L'aire de ce carré est égale à :

A=5×5=25 cm2

D

Aire d'un disque

L'aire d'un disque de rayon r est égale à :

=π×r2

-

L'aire de ce disque est égale à :

A=π×32=9π cm2

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