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Le théorème de Pythagore et sa réciproque

I

Le théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

Si ABC est un triangle rectangle en C, alors :

\(\displaystyle{AB^{2}=AC^{2} + BC^{2}}\)

-

Dans le triangle ABC rectangle en C :

\(\displaystyle{AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2}\)

On en déduit que \(\displaystyle{AB = 10}\) cm.

Racine carrée

Soit a un nombre positif. On appelle racine carrée de a le nombre positif dont le carré est a. On le note \(\displaystyle{\sqrt{a}}\). On a :

\(\displaystyle{\left( \sqrt{a} \right)^2 = a}\)

Si a est un nombre positif tel que \(\displaystyle{a^2 = 81}\), alors \(\displaystyle{a = \sqrt{81} = 9}\).

Pour les racines carrées que l'on obtient pas directement à partir des tables de multiplication, c'est-à-dire les racines carrées des carrés parfaits, on utilise la calculatrice et la touche \(\displaystyle{\sqrt{}}\). On obtient alors une valeur approchée du résultat dans la plupart des cas.

Le théorème permet de déterminer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle, à condition de connaître les longueurs des deux autres côtés.

-

Le triangle ABC est rectangle en A. On en déduit, d'après le théorème de Pythagore, que :

\(\displaystyle{AB^2+AC^2=BC^2}\)

Ainsi, on a :

\(\displaystyle{AC^2=BC^2-AB^2}\)

Soit :

\(\displaystyle{AC^2=5^2-3^2=25-9=16}\)

On a ainsi :

\(\displaystyle{AC^2=4^2}\)

On en conclut que :

\(\displaystyle{AC=4}\)

II

La réciproque du théorème de Pythagore

Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle ABC, on a \(\displaystyle{AB^2=AC^2+BC^2}\), alors le triangle ABC est rectangle en C.

-

D'une part, \(\displaystyle{BC^2=5^2=25}\).

D'autre part, \(\displaystyle{AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25}\).

Par conséquent :

\(\displaystyle{BC^2=AB^2+AC^2}\)

Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle ABC est rectangle en A.

III

Les carrés parfaits

Carré parfait

On appelle carré parfait tout nombre égal au carré d'un entier.

Les premiers carrés parfaits, c'est-à-dire les premiers carrés d'entiers naturels, sont les suivants :

-

La racine carrée d'un carré parfait est donc un entier.

Si l'on connaît les premiers carrés parfaits, on gagnera du temps lors de calcul de longueurs utilisant le théorème de Pythagore.

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