Le théorème de Pythagore et sa réciproqueCours

I

Le théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

Si ABC est un triangle rectangle en C, alors :

AB^{2}=AC^{2} + BC^{2}

-

Dans le triangle ABC rectangle en C :

AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2

On en déduit que AB = 10 cm.

Racine carrée

Soit a un nombre positif. On appelle racine carrée de a le nombre positif dont le carré est a. On le note \sqrt{a}. On a :

\left( \sqrt{a} \right)^2 = a

Si a est un nombre positif tel que a^2 = 81, alors a = \sqrt{81} = 9.

Pour les racines carrées que l'on n'obtient pas directement à partir des tables de multiplication, c'est-à-dire les racines carrées des carrés parfaits, on utilise la calculatrice et la touche \sqrt{}. On obtient alors une valeur approchée du résultat dans la plupart des cas.

Le théorème permet de déterminer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle, à condition de connaître les longueurs des deux autres côtés.

-

Le triangle ABC est rectangle en A. On en déduit, d'après le théorème de Pythagore, que :

AB^2+AC^2=BC^2

Ainsi, on a :

AC^2=BC^2-AB^2

Soit :

AC^2=5^2-3^2=25-9=16

On a ainsi :

AC^2=4^2

On en conclut que :

AC=4

II

La réciproque du théorème de Pythagore

Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle ABC, on a BC^2=AB^2+AC^2, alors le triangle ABC est rectangle en A.

-

D'une part, BC^2=5^2=25.

D'autre part, AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25.

Par conséquent :

BC^2=AB^2+AC^2

Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle ABC est rectangle en A.

III

Les carrés parfaits

Carré parfait

On appelle carré parfait tout nombre égal au carré d'un entier.

Les premiers carrés parfaits, c'est-à-dire les premiers carrés d'entiers naturels, sont les suivants :

-

La racine carrée d'un carré parfait est donc un entier.

Si l'on connaît les premiers carrés parfaits, on gagnera du temps lors de calcul de longueurs utilisant le théorème de Pythagore.

Questions fréquentes

Quelles sont les matières disponibles sur Kartable ?

Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée, y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature, histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous

Les cours sont-ils conformes aux programmes officiels de l'Education nationale ?

L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule

L'élève peut-il accéder à tous les niveaux ?

Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix. Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info

Kartable est-il gratuit ?

L'inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz). Pour débloquer l'accès illimité aux contenus, aux corrections d'exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF, il faut souscrire à l'offre Kartable Premium.
Plus d'info

Qui rédige les cours de Kartable ?

L'intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique, composée de près de 200 enseignants de l'Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus

Qu'est ce que le service Prof en ligne ?

L'option Prof en ligne est un service de chat en ligne entre élèves et professeurs. Notre Prof en ligne répond à toutes les questions sur les cours, exercices, méthodologie et aide au devoirs, pour toutes les classes et dans toutes les matières. Le service est ouvert du lundi au vendredi de 16h à 19h pour les membres ayant souscrit à l'option.
Choisissez votre formule