Calculer une probabilité conditionnelle à l'aide de la formule de Bayes et d'un arbre pondéré Exercice

Comme P(E)\neq 0, alors d'après le théorème de Bayes, la probabilité P_E(A) vaut :
P_E(A)=\dfrac{P_A(E)\times P(A)}{P(E)}

D'après l'arbre pondéré, on a :

• P(A)=0{,}2
• P_A(E)=0{,}1

 

Avec la règle du produit des probabilité sur les branches, on obtient la probabilité des événements représentés par chaque chemin de l'arbre :

• P(A\cap E)=0{,}2\times 0{,}1=0{,}02
• P(B\cap E)=0{,}4\times 0{,}5=0{,}2
• P(C\cap E)=0{,}4\times 0{,}3=0{,}12

 

D'après la formule des probabilité totales, on a :
P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)+P(C\cap E)
P(E)=0{,}02+0{,}2+0{,}12
P(E)=0{,}34

Ainsi, on en déduit :
P_E(A)=\dfrac{P_A(E)\times P(A)}{P(E)}
P_E(A)=\dfrac{0{,}1\times 0{,}2}{0{,}34}
P_E(A)=\dfrac{0{,}02}{0{,}34}

Comme P(E)\neq 0, alors d'après le théorème de Bayes, la probabilité P_E(A) vaut :
P_E(A)=\dfrac{P_A(E)\times P(A)}{P(E)}

D'après l'arbre pondéré, on a :

• P(A)=0{,}8
• P_A(E)=0{,}9

 

Avec la règle du produit des probabilité sur les branches, on obtient la probabilité des événements représentés par chaque chemin de l'arbre :

• P(A\cap E)=0{,}8\times 0{,}9=0{,}72
• P(B\cap E)=0{,}1\times 0{,}5=0{,}05
• P(C\cap E)=0{,}1\times 0{,}6=0{,}06

 

D'après la formule des probabilité totales, on a :
P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)+P(C\cap E)
P(E)=0{,}72+0{,}05+0{,}06
P(E)=0{,}83

Ainsi, on en déduit :
P_E(A)=\dfrac{P_A(E)\times P(A)}{P(E)}
P_E(A)=\dfrac{0{,}9\times 0{,}8}{0{,}83}
P_E(A)=\dfrac{0{,}72}{0{,}83}

Comme P(E)\neq 0, alors d'après le théorème de Bayes, la probabilité P_E(A) vaut :
P_E(C)=\dfrac{P_C(E)\times P(C)}{P(E)}

D'après l'arbre pondéré, on a :

• P(C)=0{,}4
• P_C(E)=0{,}3

 

Avec la règle du produit des probabilité sur les branches, on obtient la probabilité des événements représentés par chaque chemin de l'arbre :

• P(A\cap E)=0{,}2\times 0{,}1=0{,}02
• P(B\cap E)=0{,}4\times 0{,}5=0{,}2
• P(C\cap E)=0{,}4\times 0{,}3=0{,}12

 

D'après la formule des probabilité totales, on a :
P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)+P(C\cap E)
P(E)=0{,}02+0{,}2+0{,}12
P(E)=0{,}34

Ainsi, on en déduit :
P_E(C)=\dfrac{P_C(E)\times P(C)}{P(E)}
P_E(C)=\dfrac{0{,}3\times 0{,}4}{0{,}34}
P_E(C)=\dfrac{0{,}12}{0{,}34}

Comme P(E)\neq 0, alors d'après le théorème de Bayes, la probabilité P_E(A) vaut :
P_E(C)=\dfrac{P_C(E)\times P(C)}{P(E)}

D'après l'arbre pondéré, on a :

• P(C)=0{,}1
• P_C(E)=0{,}6

 

Avec la règle du produit des probabilité sur les branches, on obtient la probabilité des événements représentés par chaque chemin de l'arbre :

• P(A\cap E)=0{,}8\times 0{,}9=0{,}72
• P(B\cap E)=0{,}1\times 0{,}5=0{,}01
• P(C\cap E)=0{,}1\times 0{,}6=0{,}06

 

D'après la formule des probabilité totales, on a :
P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)+P(C\cap E)
P(E)=0{,}72+0{,}05+0{,}06
P(E)=0{,}83

Ainsi, on en déduit :
P_E(C)=\dfrac{P_C(E)\times P(C)}{P(E)}
P_E(C)=\dfrac{0{,}1\times 0{,}6}{0{,}83}
P_E(C)=\dfrac{0{,}06}{0{,}83}

Comme P(E)\neq 0, alors d'après le théorème de Bayes, la probabilité P_E(A) vaut :
P_E(B)=\dfrac{P_B(E)\times P(B)}{P(E)}

D'après l'arbre pondéré, on a :

• P(B)=0{,}3
• P_B(E)=0{,}5

 

Avec la règle du produit des probabilité sur les branches, on obtient la probabilité des événements représentés par chaque chemin de l'arbre :

• P(A\cap E)=0{,}6\times 0{,}7=0{,}42
• P(B\cap E)=0{,}3\times 0{,}5=0{,}15
• P(C\cap E)=0{,}1\times 0{,}6=0{,}06

 

D'après la formule des probabilité totales, on a :
P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)+P(C\cap E)
P(E)=0{,}42+0{,}15+0{,}06
P(E)=0{,}63

Ainsi, on en déduit :
P_E(B)=\dfrac{P_B(E)\times P(B)}{P(E)}
P_E(B)=\dfrac{0{,}5\times 0{,}3}{0{,}63}
P_E(B)=\dfrac{0{,}15}{0{,}63}