La définition d'une loi à densité
Jusqu'à présent, les variables aléatoires définies sur un univers \Omega prenaient des valeurs « isolées » comme par exemple le numéro des faces dans un lancer de dé. On les appelle des variables discrètes. On se place maintenant dans le cas où les variables aléatoires peuvent prendre toutes les valeurs d'un intervalle.
Notion de loi à densité
Dans certains cas, la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire est exprimée à l'aide d'une fonction continue. On parle de loi à densité.
Variable aléatoire continue
Soit X une variable aléatoire définie sur l'univers \Omega d'une expérience aléatoire.
On dit que X est une variable aléatoire continue si elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle de réels I.
Une usine produit des ampoules LED. Les ampoules peuvent fonctionner jusqu'à 100 000 heures.
On choisit au hasard une ampoule dans la production. On note X la variable aléatoire qui donne la durée de vie en milliers d'heures de cette ampoule.
X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle [0;100].
On dit que X est une variable aléatoire continue sur [0;100].
Dans le cas d'une variable aléatoire continue, on ne s'intéresse pas à la probabilité que X prenne une valeur particulière d'un intervalle puisqu'il y a une infinité de valeurs possibles.
On s'intéressera à la probabilité que X soit comprise entre deux valeurs de cet intervalle.
On note X la variable aléatoire continue qui donne la durée de vie, en milliers d'heures, d'une ampoule LED. X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle [0;100].
On s'intéressera, par exemple :
- à la probabilité que la durée de vie de l'ampoule choisie soit inférieure à 10 milliers heures, ce qu'on écrit : P( X \leqslant10) ;
- ou bien à la probabilité que la durée de vie de l'ampoule soit comprise entre 50 000 et 60 000 heures, ce qu'on écrit P( 50\leqslant X \leqslant60).
Loi à densité
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I.
On dit que X suit la loi de probabilité de densité f sur I lorsqu'il existe une fonction f, positive et continue sur I, telle que :
pour tout intervalle [a;b] inclus dans I, la probabilité que X soit comprise entre a et b est égale à \int_{a}^{b} f(t)\ \mathrm dt.
On note :
P(a\leqslant X \leqslant b)=\int_{a}^{b} f(t) \ \mathrm dt
On relève la taille des animaux d'une population de grand effectif. Cette taille est comprise entre 0,45 m et 1,75 m.
On note X la variable aléatoire qui donne la taille, en mètres, d'un animal prélevé au hasard.
On a tracé la courbe C_{f} qui donne la densité de probabilité de la variable aléatoire : cette courbe donne la distribution des probabilités en fonction des tailles.
La probabilité que la taille de l'animal soit comprise entre 1 mètre et 1,5 mètre est représentée par la surface de l'aire sous la courbe C_{f} située entre les droites d'équation x=1 et x=1{,}5.
On a :
P(1\leqslant X\leqslant1{,}5)=\int_{1}^{1{,}5} f(t) \ \mathrm dt
On lit que cette probabilité est environ de 0,48.
On dit aussi que X est une variable aléatoire de densité de probabilité f sur I.
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I=[a;b].
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [a;b] et qui suit la loi à densité f.
Alors :
\int_{a}^{b} f(t) \ \mathrm dt =1
Soit la fonction f définie sur [-1;1] par f(x)=1-\left| x \right|.
Représentation de la fonction f:x\longmapsto1-\left| x \right|
On vérifie que f peut être une fonction densité de probabilité sur [-1 ;1] en vérifiant les trois points suivants :
- f est une fonction continue sur [-1;1].
- f est positive sur [-1;1].
En effet, de -1\leqslant x\leqslant1, on déduit que \left| x \right|\leqslant1 donc 1-\left| x \right|\geqslant0.
- On vérifie ensuite qu'on a bien \int_{-1}^{1} f(t) \ \mathrm dt=1.
\int_{-1}^{1} f(t) \ \mathrm dt=\int_{-1}^{0} f(t) \ \mathrm dt+\int_{0}^{1} f(t) \ \mathrm dt d'après la relation de Chasles pour les intégrales.
Ainsi :
\int_{-1}^{1} f(t) \ \mathrm dt=\int_{-1}^{0} (1+t) \ \mathrm dt+\int_{0}^{1} (1-t) \ \mathrm dt
\int_{-1}^{1} f(t) \ \mathrm dt=\left[ t+ \dfrac{t^2}{2}\right]_{-1}^{0}+\left[ t-\dfrac{t^2}{2}\right]_{0}^{1}=(1-\dfrac{1}{2})+(1-\dfrac{1}{2})=1
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur [-1;1].
La probabilité pour que X soit comprise entre -0{,}5 et 0{,}5 est P(-0{,}5\leqslant X\leqslant 0{,}5)=\int_{-0{,}5}^{0{,}5} f(t) \ \mathrm dt.
On lit graphiquement que P(-0{,}5\leqslant X\leqslant 0{,}5)=0{,}75.
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans [a;b] et f une fonction continue et positive sur [a;b].
La contraposée de la propriété précédente s'écrit :
Si l'intégrale de la fonction f entre a et b n'est pas égale à 1, alors cette fonction ne peut pas être une fonction densité de probabilité pour X.
Fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi à densité f sur I.
On appelle fonction de répartition de X la fonction F_{X} définie sur \mathbb{R} par F_{X} (x)=P(X\leqslant x).
Soit la fonction f définie sur [-1;1] par f(x)=1-\left| x \right| et soit X une variable aléatoire de densité f sur [-1;1].
La fonction de répartition de X est la fonction définie sur \mathbb{R} telle que F_{X} (x)=P(X\leqslant x).
On a :
- F_{X} (-2)=P(X\leqslant -2)=0
En effet, X étant à valeurs dans [-1;1], l'événement (X\leqslant -2) est un événement impossible.
- F_{X} (10)=P(X\leqslant10)=1
En effet, X étant à valeurs dans [-1;1], l'événement (X\leqslant 10) est un événement certain.
- F_{X} (0)=P(X\leqslant 0)=P(-1\leqslant X\leqslant 0)
Ainsi, F_{X}(0)=\int_{-1}^{0}(1+t) \ \mathrm dt=\left[t+ \dfrac{t^2}{2} \right]_{-1}^{0}=\dfrac{1}{2}.
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi à densité f sur I.
Pour tous réels a et b appartenant à I tels que a\leqslant b, on a :
P(a\leqslant X \leqslant b)=\int_{a}^{b} f(t) \ \mathrm dt=F_{X}(b)-F_{X}(a)
Espérance et variance d'une loi à densité
Espérance d'une loi à densité
Soit X une variable aléatoire continue, suivant la loi à densité f sur un intervalle [a;b].
Alors l'espérance de X est E(X)=\int_{a}^{b} t f(t) \ \mathrm dt.
Soit f la fonction définie sur [0;2] par f(x)=\dfrac{x}{2}.
Cette fonction est définie, continue et positive sur l'intervalle [0;2].
On a, de plus, \int_{0}^{2} f(t) \ \mathrm dt=\int_{0}^{2} \dfrac{t}{2} \ \mathrm dt=\left[ \dfrac{t^2}{4} \right]_{0}^{2}.
D'où \int_{0}^{2} f(t) \ \mathrm dt=\left[ \dfrac{2^2}{4} -0\right]=1.
Soit X une variable aléatoire de densité f sur [0;2].
On a :
E(X)=\int_{0}^{2} tf(t) \ \mathrm dt=\int_{0}^{2} t\times \dfrac{t}{2}\ \mathrm dt=\int_{0}^{2} \dfrac{t^2}{2} \ \mathrm dt
Une primitive de la fonction carré est la fonction t\longmapsto \dfrac{t^3}{3} donc E(X)=\left[ \dfrac{x^3}{6} \right]_{0}^{2}= \dfrac{8}{6}.
On en déduit que l'espérance de X est :
E(X)=\dfrac{4}{3}
Variance d'une loi à densité
Soit X une variable aléatoire continue, suivant la loi à densité f sur un intervalle [a;b].
Alors la variance de X est V(X)=\int_{a}^{b} (t-E(X))^{2} f(t) \ \mathrm dt.
Soit f la fonction définie sur [0;2] par f(x)=\dfrac{x}{2}.
Soit X une variable aléatoire de densité f sur [0;2]. On donne E(X)=\dfrac{4}{3}.
Alors V(X)=\int_{0}^{2} (t-E(X))^{2} f(t) \ \mathrm dt .
Soit :
V(X)=\int_{0}^{2} (t-\dfrac{4}{3})^{2} \times\dfrac{t}{2} \ \mathrm dt
V(X)=\int_{0}^{2}\dfrac{t^3}{2}-\dfrac{4}{3}t^2+\dfrac{8}{9} {d}t
V(X)=[\dfrac{t^4}{8}-\dfrac{4}{3}t^3+\dfrac{4}{9}t^2]_{0}^{2}
V(X)=\dfrac{2}{9}
La loi uniforme
La loi uniforme sur un intervalle [a;b] est une loi qui modélise des situations d'équiprobabilité sur un intervalle.
Loi uniforme sur [0;1]
Loi uniforme sur [0;1]
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans [0;1].
On dit que X suit la loi uniforme sur [0;1] lorsque la fonction densité de probabilité de X est la fonction définie sur [0;1] par la constante f(x)=1.
![Fonction densité de probabilité \(\displaystyle{f}\) de la loi uniforme sur \(\displaystyle{[0;1]}\) et aire sous la courbe.](https://media-image.kartable.fr/uploads/finalImages/final_67ae19edbe23b3.69576141.png?format=webp)
Fonction densité de probabilité f de la loi uniforme sur [0;1] et aire sous la courbe.
Dans une cellule de tableur, on peut commander un nombre aléatoire compris entre 0 et 1.
Si on note X la variable aléatoire qui donne la valeur du nombre dans la cellule, X suit la loi uniforme sur [0;1].
La loi uniforme discrète modélise l'équiprobabilité de chacune des issues sur un univers fini de valeurs.
La loi uniforme sur [0;1] est la transposition pour les variables aléatoires continues de la loi uniforme discrète : elle modélise l'équiprobabilité de la variable aléatoire sur les intervalles de même amplitude inclus dans [0;1].
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0;1].
On a :
P(0{,}4\leqslant X \leqslant0{,}6)=P(0{,}1\leqslant X \leqslant0{,}3)
Si [a;b] est inclus dans [0;1] avec b-a=0{,}2, on obtient la même probabilité pour P(a\leqslant X \leqslant b).
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0;1].
Alors sa fonction de répartition est F_{X} définie par : \begin{cases} \text Si \ x \lt 0, \ F_{X}(x)=0 \cr \cr Si \ 0\leqslant x\leqslant 1, \ F_{X}(x)=x \cr \cr Si \ 1 \lt x, \ F_{X}(x)=1 \end{cases}
On note X la variable qui donne la valeur d'un nombre réel compris entre 0 et 1 et obtenu de façon aléatoire.
X suit la loi uniforme sur [0;1].
On a :
- La probabilité que ce nombre soit inférieur à 0{,}25 : P(X\leqslant0{,}25)=F_{X}(0{,}25)=0{,}25.
- La probabilité que ce nombre soit strictement négatif est P(X \lt 0)=0.
En effet, le nombre obtenu de manière aléatoire est positif puisque compris entre 0 et 1.
Soit X une variable aléatoire continue qui suit la loi uniforme sur [0;1] et sa fonction de répartition F_{X}.
Alors pour tous réels a et b tels que a\leqslant b, on a P(a\leqslant X \leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)=b-a.
Soit X une variable aléatoire continue qui suit la loi uniforme sur [0;1].
La probabilité pour que X nombre soit compris entre 0,5 et 0,6 est :
P(0{,}5\leqslant X\leqslant0{,}6)=0{,}6-0{,}5=0{,}1
Espérance et variance d'une variable suivant la loi uniforme sur [0;1]
Soit X une variable aléatoire continue qui suit la loi uniforme sur [0;1].
Alors :
- E(X)=\dfrac{1}{2}
- V(X)=\dfrac{1}{12}
Loi uniforme sur [a;b]
Loi uniforme sur [a;b]
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans [a;b].
On dit que X suit la loi uniforme sur [a;b] lorsque la fonction densité de probabilité de X est la fonction constante définie par f(x)=\dfrac{1}{b-a}.
On choisit au hasard un point sur un segment [MN] de longueur 4 cm.
On note X la variable aléatoire continue qui donne la distance entre M et ce point choisi au hasard.
X suit la loi uniforme sur [0;4].
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b].
Alors sa fonction de répartition est F_{X} définie par : \begin{cases} \text Si \ x \lt a, \ F_{X}(x)=0 \cr \cr Si \ a\leqslant x\leqslant b, \ F_{X}(x)=\dfrac{x-a}{b-a} \cr \cr Si \ b \lt x, \ F_{X}(x)=1 \end{cases}
Soit X une variable aléatoire continue qui suit la loi uniforme sur [0;4].
On a :
- P(X\leqslant -1)=F_{X}(-1)=0
En effet, (X\leqslant -1) est un événement impossible.
- P(X\leqslant 1{,}5)=F_{X}(1{,}5)=\dfrac{1{,}5-0}{4-0}=\dfrac{1{,}5}{4}=0{,}375
Espérance et variance d'une variable suivant la loi uniforme sur [a;b]
Soit X une variable aléatoire continue qui suit la loi uniforme sur [a;b].
Alors :
- E(X)=\dfrac{a+b}{2}
- V(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}
Soit X une variable aléatoire continue qui suit la loi uniforme sur [0;4].
Alors :
E(X)=\dfrac{0+4}{2}=2
et
V(X)=\dfrac{(4-0)^{2}}{12}=\dfrac{16}{12}=\dfrac{4}{3}
La loi exponentielle
La loi exponentielle est une loi de probabilité qui permet de modéliser le temps d'attente entre deux événements aléatoires, comme la durée de vie de certains composants électroniques, ou le temps d'attente à un guichet. Elle est particulièrement utile pour étudier ces phénomènes temporels qui se produisent de manière continue et imprévisible.
Les fonctions densité et de répartition de la loi exponentielle
Loi exponentielle
Soit \lambda un nombre réel strictement positif et X une variable aléatoire continue.
On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre \lambda sur [0;+\infty[ lorsque sa densité de probabilité f est définie sur [0;+\infty[ par : f(x)=\lambda e^{-\lambda x}.
Les atomes radioactifs se désintègrent au bout d'un certain temps.
On note T la variable aléatoire qui donne la durée de vie en années d'un atome radioactif de césium.
T suit la loi exponentielle de paramètre \lambda=0{,}023.
Sa fonction densité de probabilité est donc définie sur [0;+\infty[ par f(x)=0{,}023\ e^{-0{,}023 x}.
Ainsi la probabilité pour que la durée de vie d'un noyau de césium soit entre 10 et 50 ans est :
P(10\leqslant T\leqslant 50)=\int_{10}^{50} f(x) \ \mathrm dx=\int_{10}^{50} 0{,}023\ e^{-0{,}023 x}\ \mathrm dx
Représentation de la fonction densité f(x)=0{,}023\ e^{-0{,}023 x} et de la probabilité P(10\leqslant T\leqslant 50)
Graphiquement, on estime cette probabilité à environ 48 %.
Soit \lambda un nombre réel strictement positif et X une variable aléatoire continue suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda sur [0;+\infty[.
La fonction de répartition de X est la fonction définie sur \mathbb{R} par :
F_{X} (x)=\begin{cases} 0 \ \text{si} \ x \lt 0\cr \cr 1-e^{-\lambda x} \ \text{si} \ x\geqslant0\end{cases}
Soit T une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \lambda=0{,}023.
Sa fonction de répartition F_{X} est définie par :
F_{X} (x)=\begin{cases} 0 \ \text{si} \ x \lt 0\cr \cr 1-e^{-0{,}023 x} \ \text{si} \ x\geqslant0\end{cases}
Ainsi :
F_{X} (50)=1-e^{-0{,}023 \times 50}\approx 0{,}68
On peut le traduire ainsi : la probabilité pour que la variable aléatoire T soit inférieure à 50 est environ 0,68 ou 68 %.
Soit \lambda un réel strictement positif.
Soit X une variable aléatoire continue qui suit la loi exponentielle de paramètre \lambda, et F_{X} sa fonction de répartition.
Alors, pour tous réels a et b tels que a\leqslant b, on a P(a\leqslant X \leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}.
Un cabinet médical met les appels entrants sur sa ligne téléphonique en attente lorsque la secrétaire est occupée.
On note X la variable aléatoire qui donne le temps d'attente en minutes avant que la secrétaire décroche et F_{X} sa fonction de répartition.
On admet que X suit la loi exponentielle de paramètre \lambda=0{,}25.
La probabilité pour que le temps d'attente soit compris entre 2 et 5 minutes est :
P(2\leqslant X \leqslant 5)=F_{X}(5)-F_{X}(2)=e^{-0{,}25 \times 2}-e^{-0{,}25 \times 5}=e^{-0{,}5}-e^{-1{,}25}
On obtient ainsi P(2\leqslant X \leqslant 5)\approx0{,}32.
Soit \lambda un réel strictement positif.
Soit X une variable aléatoire continue qui suit la loi exponentielle de paramètre \lambda.
Alors, pour tout réel a tel que 0\leqslant a, on a :
P(X\geqslant a)=e^{-\lambda a}
Soit X la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \lambda=0{,}25.
La probabilité pour que X soit supérieure à 10 est :
P( X\geqslant 10)=e^{-0{,}25 \times 10}=e^{-2{,}5}
On obtient ainsi P( X\geqslant 10)\approx0{,}08.
Espérance d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle
Soit \lambda un nombre réel strictement positif et X une variable aléatoire continue suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda sur [0;+\infty[.
Alors son espérance est :
E(X)=\dfrac{1}{\lambda}
Un cabinet médical met les appels entrants sur sa ligne téléphonique en attente lorsque la secrétaire est occupée. X, la variable aléatoire qui donne le temps d'attente en minutes, suit la loi exponentielle de paramètre \lambda=0{,}25.
Son espérance est E(X)=\dfrac{1}{0{,}25}=4.
On peut l'interpréter de la manière suivante : en moyenne, le temps d'attente avant que l'appel soit pris est de 4 minutes.
Absence de mémoire
Soit \lambda un nombre réel strictement positif et X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \lambda.
Alors, pour tous les nombres réels positifs x et t, la probabilité que X soit supérieure à (x+t) sachant que X est supérieure à x est égale à la probabilité que X soit supérieure à t.
Ce qu'on écrit :
Pour tous les nombres réels positifs x et t, P_{(X\geqslant x)} (X\geqslant x+t)=P(X\geqslant t).
On note X la variable aléatoire qui donne le temps d'attente en minutes lors d'un appel à une plateforme téléphonique.
X suit la loi exponentielle de paramètre \lambda.
Un utilisateur a déjà attendu 5 minutes. La probabilité que son attente soit supérieure à 8 minutes est :
P_{(X\geqslant 5)} (X\geqslant 8)
Soit :
P_{(X\geqslant 5)} (X\geqslant 5+3)
On a donc P_{(X\geqslant 5)} (X\geqslant 8) =P (X\geqslant 3)=e^{-3\lambda}.
On fait référence à cette propriété comme à une propriété d'absence de mémoire de la loi exponentielle.
Elle signifie que la probabilité qu'une variable aléatoire, observée à partir d'une valeur a\geqslant 0 , soit supérieure à un nombre b \gt a dépend uniquement de l'amplitude de [a;b] et non de a.