On suppose que la variable X donnant le temps d'attente en minutes d'un usager à un arrêt de bus suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[0 ; 30\right].
Quelle proposition correspond à l'expression d'une densité de la variable aléatoire X ?
D'après le cours, on sait que la loi uniforme sur \left[ a;b \right] admet pour densité la fonction f définie par :
\begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{b-a} \;si \; x \in\left[ a;b \right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ a;b \right] \end{cases}
Or ici, X suit la loi uniforme sur \left[0;30 \right].
Donc X admet pour densité la fonction f suivante :
\begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{30-0} \;si \; x \in\left[ 0;30 \right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ 0;30 \right] \end{cases}
La fonction f suivante est une densité de X : \begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{30} \;si \; x \in\left[ 0;30 \right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ 0;30 \right] \end{cases}
Quelle est la probabilité que l'usager doive attendre moins de 10 minutes ?
La probabilité que l'usager doive attendre moins de 10 minutes est P\left(X\lt 10\right).
Or on sait que :
P\left(X\lt 10\right)=P\left(X\leq 10\right) = P\left(0 \leq X\leq 10\right) = \int_0^{10} f\left(x\right)dx
Ainsi :
P\left(X\lt 10\right)= \int_0^{10} \dfrac{1}{30}dx
P\left(X\lt 10\right) = \left[ \dfrac{x}{30} \right]_0^{10}
P\left(X\lt 10\right) = \dfrac{10}{30} -\dfrac{0}{30}
P\left(X\lt 10\right)= \dfrac{1}{3}
La probabilité que l'usager doive attendre moins de 10 minutes vaut \dfrac{1}{3}.
Quelle est la probabilité que l'usager attende plus de 12 minutes ?
La probabilité que l'usager attende plus de 12 minutes est P\left(X\gt 12\right).
Or on sait que :
P\left(X\gt 12\right)=P\left(X\geq 12\right) = P\left(12 \leq X\leq 30\right) = \int_{12}^{30} f\left(x\right)dx
On obtient :
P\left(X\gt 12\right) = \int_{12}^{30} \dfrac{1}{30}dx
P\left(X\gt 12\right)= \left[ \dfrac{x}{30} \right] _{12}^{30}
P\left(X\gt 12\right)=\dfrac{30}{30} - \dfrac{12}{30}
P\left(X\gt 12\right) =\dfrac{18}{30}
On peut donc conclure :
La probabilité que l'usager doive attendre plus de 12 minutes vaut \dfrac{3}{5}.
Quel est le temps moyen d'attente de l'usager à l'arrêt de bus ?
Le temps moyen d'attente de l'usager est l'espérance E\left(X\right) de la variable aléatoire X.
Or, d'après le cours, on sait que l'espérance E\left(X\right) de la variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur l'intervalle \left[ a;b \right] est :
E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}
Ici, X est la variable suivant la loi uniforme sur l'intervalle \left[ 0;30 \right].
On en déduit que :
E\left(X\right) = \dfrac{0+30}{2}
E\left(X\right) = 15
L'usager attendra en moyenne 15 minutes son bus.