Le développement
Le développement est la transformation d'un produit de facteur en somme ou différence de termes. La multiplication peut être distributive par rapport à l'addition ou à la soustraction. On parle de simple et de double distributivité.
Définition du développement
Le développement est le fait de transformer une expression écrite sous la forme d'un produit en une somme algébrique.
Développer
Soient A et B deux sommes algébriques.
Développer le produit A \times B revient à le mettre sous la forme d'une somme algébrique.
Soit un nombre quelconque x.
Le produit 5(3x-5) peut s'écrire sous la forme 15x-25, c'est-à-dire sous la forme d'une somme algébrique.
La simple distributivité
Multiplier une somme algébrique par un nombre k peut se faire en ajoutant ou en soustrayant les produits de chaque terme de la somme par a.
La multiplication distributive par rapport à l'addition
La multiplication peut être distributive par rapport à l'addition.
Soient a, b et k trois nombres quelconques.
On a alors :
k(a+b)=ka+kb
Soit un nombre quelconque x.
x(2x+1)=x\times 2x+x\times 1=2\times x\times x+1\times x=2x^2+x
Lorsque les nombres a, b et k sont des nombres positifs, la formule précédente peut se visualiser avec des aires de rectangles.
En juxtaposant des rectangles dont l'un a pour dimensions k et a et l'autre k et b, on obtient un grand rectangle dont les dimensions sont k et a+b.
Or la somme des aires des deux plus petits rectangles donne l'aire du grand rectangle, comme représenté sur le schéma suivant :
L'aire du grand rectangle est égale à k\times (a+b).
L'aire du rectangle bleu est égale à k\times a.
L'aire du rectangle rouge est égale à k\times b.
On retrouve donc bien :
k(a+b)=ka+kb
La multiplication distributive par rapport à la soustraction
La multiplication peut être distributive par rapport à la soustraction.
Soient a, b et k trois nombres quelconques.
On a alors :
k(a-b)=ka-kb
Soit un nombre quelconque x.
5(3x-5)=5\times 3x-5\times 5=5\times 3\times x-25=15x-25
La double distributivité
La double distributivité permet de développer un produit de deux sommes algébriques.
Soient a, b, c et d des nombres quelconques.
On a alors :
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
On cherche à développer (a+b)(c+d), où a, b, c et d sont des nombres quelconques.
La simple distributivité donne pour tous nombres k, c et d :
k\times (c+d)=k\times c+k\times d
En prenant k=a+b, on obtient :
(a+b)\times (c+d)=(a+b)\times c+(a+b)\times d
Or :
(a+b)\times c=c\times (a+b)=ca+cb=ac+bc
De même :
(a+b)\times d=d\times (a+b)=da+db=ad+bd
Ainsi, on obtient :
(a+b)\times (c+d)=ac+bc+ad+bd=ac+ad+bc+bd
Soit un nombre quelconque x.
Le produit (2x+1)(5-x) peut alors s'écrire :
2x\times 5+2x\times (-x)+1\times 5+1\times (-x)
Ce qui correspond à :
10x-2x^2+5-x
Soit, une fois simplifié :
-2x^2+9x+5
La factorisation
La factorisation est utilisée pour simplifier des sommes algébriques en produits de facteurs. Il existe plusieurs formules de factorisation, dont deux issues directement de la simple distributivité.
Définition de la factorisation
La factorisation est la transformation d'une somme de termes à un produit de facteurs.
Factoriser
Factoriser une somme algébrique revient à la mettre sous la forme d'un produit de sommes algébriques.
Soit un nombre quelconque x.
12x+5x est une somme algébrique qui correspond à 12\times x+5\times x.
En écrivant cette somme sous la forme 17x, on l'a transformée en un produit.
On a donc factorisé l'expression de départ.
La factorisation est le procédé « inverse » du développement.
Les formules de factorisation
Il existe trois formules correspondant à une factorisation. Les deux premières sont une réécriture de la simple distributivité. La troisième permet d'écrire sous la forme d'un produit une différence de deux carrés.
Les deux formules découlant de la simple distributivité
Les deux formules suivantes découlent de la simple distributivité écrite dans l'autre sens.
Soient k, a et b trois nombres.
On a alors :
ka+kb=k(a+b)
Soit un nombre quelconque x.
18x+12=\textcolor{red}{6}\times3x+\textcolor{red}{6}\times2=\textcolor{red}{6}\left(3x+2\right)
Soient k, a et b trois nombres.
On a alors :
ka-kb=k(a-b)
Soit un nombre quelconque x.
18x-12=\textcolor{red}{6}\times3x-\textcolor{red}{6}\times2=\textcolor{red}{6}\left(3x-2\right)
Pour factoriser une expression, on peut identifier un facteur commun à chaque terme de la somme lorsqu'il en existe un.
Soient a et b deux nombres.
On souhaite factoriser la somme S suivante :
S = 3a + ab
Pour cela, on identifie un facteur commun à chaque terme de la somme 3{\textcolor{Red}a} + {\textcolor{Red}a}b.
On peut donc factoriser par a :
S = a \left(3 + b\right)
La factorisation de a^2-b^2
La différence a^2-b^2 peut s'écrire sous la forme (a+b)(a-b).
Soient a et b deux nombres.
On a alors :
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
Soit un nombre quelconque x.
x^2-16=x^2-4^2=(x-4)(x+4)
On a transformé la somme algébrique x^2-16 en un produit de sommes algébriques.
On aurait pu écrire :
Soient a et b deux nombres.
On a alors :
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
On reprend l'exemple précédent.
Soit un nombre quelconque x.
x^2-16=x^2-4^2=(x+4)(x-4)