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Dernière modification : 04/01/2019 - Conforme au programme 2015-2016
Les tableaux de proportionnalité
Le fonctionnement
Proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsqu'on en multiplie une par un nombre non nul, l'autre est également multipliée par ce même nombre.
Max a acheté 1 croissant pour 1,02€. Pour en acheter 3, il devra payer 3 fois plus cher, c'est-à-dire, 3 \times 1{,}02 = 3{,}06 €. Le prix est proportionnel au nombre de croissants achetés.
Certaines grandeurs ne sont pas proportionnelles.
La taille d'une personne n'est pas proportionnelle à l'âge de celle-ci. En effet un garçon de 16 ans peut mesurer 1,80 m alors qu'une femme de 40 ans peut mesurer 1,60 m.
Règle de la multiplication :
Si 2 chaises coûtent 320€ alors 6 chaises coûtent 960€. (On multiplie les valeurs par 3).
Règle de l'addition :
Si 2 poteaux électriques mesurent 15 mètres alors 4 poteaux ( 2 + 2 poteaux) mesurent 15 + 15 = 30 mètres.
Passage à l'unité :
S'il faut 150 g de farine pour 6 personnes alors il faut 150\div6=25 g de farine pour une personne et donc 4\times25=100 g pour 4 personnes.
Tableau et coefficient de proportionnalité
Pour représenter une situation de proportionnalité, on utilise souvent un tableau de proportionnalité. Par définition, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par un même nombre, pour chaque colonne. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.
Inversement, on passe de la seconde ligne à la première en divisant par le coefficient de proportionnalité.
Sachant qu'un croissant coûte 1,02 €, voici les prix pour 2, 3, 4, 5 croissants.
Dans cet exemple, le coefficient de proportionnalité est le prix d'un croissant : 1,02.
Les opérations
Dans un tableau de proportionnalité, lorsque l'on connaît trois valeurs de deux colonnes, on peut en déduire la quatrième valeur à l'aide du produit en croix.
? = \left(2 \times 7{,}14\right) \div 2{,}04 = 7
Pour retrouver la valeur inconnue on peut aussi diviser par le coefficient de proportionnalité du tableau. Ici le coefficient de proportionnalité est : 2{,}04\div2=1{,}02. Donc ?=7{,}14\div1{,}02=7.
Les applications de la proportionnalité
Les pourcentages
Pourcentage
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100.
\textcolor{Blue}{6} \% = \dfrac{\textcolor{Blue}{6}}{100}
\textcolor{Blue}{8{,}9} \% = \dfrac{\textcolor{Blue}{8{,}9}}{100}
\textcolor{Blue}{31} \% = \dfrac{\textcolor{Blue}{31}}{100}
Si une boisson comporte 5% de sucre, cela signifie que dans 100 cL de cette boisson, il y a 5 cL de sucre.
Pour calculer t% d'un nombre, on multiplie ce nombre par \dfrac{t}{100}.
Une chemise coûte 82 €. Etienne obtient une remise de 10%.
Il bénéficie donc d'une réduction de 10 \% \times 82 = \dfrac{10}{100} \times 82 = 0{,}1 \times 82 = 8{,}2 € sur la chemise.
Certains pourcentages sont à connaître :
- Prendre 10% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 10 (ou à prendre le dixième).
- Prendre 25% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 4 (ou à prendre le quart).
- Prendre 50% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 2 (ou à prendre la moitié).
10% de 156 vaut 156\div10=15{,}6.
25% de 240 vaut 240\div4=60.
50% de 10,2 vaut 10{,}2\div2=5{,}1.
Les échelles
Echelle
Une échelle permet de représenter un objet (ou un lieu) de grande taille sur une feuille, tout en respectant les proportions.
Par exemple, si une représentation est à l'échelle \dfrac{1}{2\ 500}, cela signifie que toutes les dimensions ont été divisées par 2500. Inversement, 1 cm sur la représentation correspond à 2500 cm en réalité.