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Dernière modification : 28/08/2025 - Conforme au programme 2025-2026
Définition
Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles si, en multipliant les mesures de l'une par un même nombre (non nul), on obtient les mesures de l'autre.
Max a acheté 1 croissant pour 1,02 €.
Pour en acheter 3, il devra payer 3 fois le prix d'un croissant, c'est-à-dire 3 \times 1{,}02 = 3{,}06\text{ € }.
De manière générale, pour obtenir le prix à payer, on multiplie le nombre de croissants par 1,02.
Le prix payé est donc proportionnel au nombre de croissants achetés.
On peut chercher à identifier si une situation relève du modèle de la proportionnalité ou non.
Des fraises sont vendues à 4,50 € le kilo.
Le prix des fraises est alors proportionnel à la masse de fraises achetées.
Cette situation relève du modèle de la proportionnalité.
Un paquet de gâteaux coûte 3 €.
Un lot contenant quatre paquets de ces gâteaux coûte 10 €.
Si la situation relevait de la proportionnalité, alors 4 paquets de gâteaux devraient coûter 4 fois plus cher qu'un seul paquet, c'est-à-dire :
4 \times 3 = 12 \text{ €}
Or, le lot de quatre paquets de gâteaux coûte 10 €.
Cette situation ne relève donc pas de la proportionnalité.
Utilisation de tableaux ou de notations
Pour représenter une situation de proportionnalité, on utilise souvent un tableau de proportionnalité.
Coefficient de proportionnalité
Dans un tableau de proportionnalité, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par un même nombre, pour chaque colonne. Ce nombre est appelé « coefficient de proportionnalité ».
Sachant qu'un croissant coûte 1,02 €, voici les prix pour 2, 3, 4, 5 croissants.
Dans cet exemple, le coefficient de proportionnalité est le prix d'un croissant : 1,02 €.
On peut lire que :
- 2 croissants coûtent 2,04 €.
- 3 croissants coûtent 3,06 €.
- 4 croissants coûtent 4,08 €.
- 5 croissants coûtent 5,10 €.
Inversement, on passe de la seconde ligne à la première en divisant par le coefficient de proportionnalité.
Pour représenter une situation de proportionnalité, on peut également utiliser des notations avec des flèches.
Un cultivateur vend des pommes de terre au poids. Léo paie 5 € pour un sac de 2,5 kg. Quel prix doit payer Lilou pour deux sacs de 5 kg ? De quelle masse de pommes de terre dispose Paul qui a payé 15 € ?
On peut schématiser cette situation de la manière suivante :
2,5 kg \xrightarrow{\text{ }} 5 €
10 kg \xrightarrow{\text{ }} ? €
? kg \xrightarrow{\text{ }} 15 €
Propriétés
Dans une situation relevant de la proportionnalité, on peut appliquer la propriété de l'addition.
On a affaire un lot de pommes toutes identiques.
Si 2 pommes pèsent 350 g et que 5 pommes pèsent 875 g, alors 2 + 5 = 7 \text{ pommes} pèsent 350 \text{ g} + 875 \text{ g} = 1\ 225 \text{ g}.
Dans une situation relevant de la proportionnalité, on peut appliquer la propriété de la multiplication.
Si l'on parcourt 3 km en 10 min, alors on parcourt 6 \times 3 \text{ km} = 18 \text{ km} en 6 \times 10 \text{ min} = 60 \text{ min}.
On multiplie les valeurs des deux grandeurs par un même nombre : 6.
Dans une situation relevant de la proportionnalité, on peut également effectuer un retour à l'unité.
S'il faut 150 g de farine pour faire un cake pour 6 personnes, alors on peut calculer la masse de farine nécessaire pour 1 personne :
Il faut 150 : 6 = 25 \text{ g} de farine pour une personne.
Et on en déduit la masse de farine pour 4 personnes :
25 \times 4 = 100 \text{ g} pour 4 personnes.
Les échelles
Échelle d'un plan
Sur la plupart des plans, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles.
On appelle « échelle du plan » le quotient d'une longueur sur le plan par la longueur réelle correspondante lorsque ces longueurs sont exprimées dans la même unité.
On représente souvent une échelle sous la forme d'une fraction.
Par exemple, si une représentation est à l'échelle \dfrac{1}{2\ 500}, cela signifie que :
- toutes les dimensions réelles ont été divisées par 2 500 pour obtenir les dimensions sur le plan ;
- inversement, 1 cm sur la représentation correspond à 2 500 cm en réalité.
Grâce à une échelle, on peut calculer une longueur sur le plan quand on connaît la longueur réelle correspondante.
Une carte de France est à l'échelle 1 : 1\ 000\ 000, soit \dfrac{1}{1\ 000\ 000}\\ .
Si deux villes sont éloignées de 30 km (soit 3 000 000 cm), alors la distance qui les sépare sur le plan est, en cm :
\text{Distance sur le plan}=\text{Distance réelle}\times \dfrac{1}{1\ 000\ 000}=3\ 000\ 000 \times \dfrac{1}{1\ 000\ 000}=\dfrac{3\ 000\ 000}{1\ 000\ 000}=3 \text{ cm}
Inversement, on peut calculer une longueur réelle quand on connaît la longueur correspondante sur le plan.
Un plan de Paris est à l'échelle 1 : 5\ 000, soit \dfrac{1}{5\ 000} .
Si deux monuments de Paris sont éloignés de 10 cm sur le dessin, alors la distance réelle qui les sépare est, en cm :
\text{Distance réelle}=\text{Distance sur le plan}\times 5\ 000=10 \times 5\ 000=50\ 000 \text{ cm}
La distance réelle est de 500 mètres.
Sur un plan ou une carte, une échelle peut être représentée sous la forme d'un segment dont la longueur correspond à une longueur réelle donnée.
Si le segment ci-dessous mesure 10 cm sur le plan, cela signifie que 10 cm sur le plan correspondent à 150 km dans la réalité.
Une échelle permet de représenter un objet (ou un lieu) de grande taille sur une feuille, tout en respectant les proportions.
Une échelle peut être inférieure à 1 (dans le cas d'une réduction) ou supérieure à 1 (dans le cas d'un agrandissement).
Sur une photographie, la tour Eiffel est représentée à l'échelle 1 : 500 , soit \dfrac{1}{500} .
Les dimensions sur la photographie sont alors 500 fois plus petites que dans la réalité. L'échelle est inférieure à 1. Il s'agit d'une réduction.
Sur un dessin, un coléoptère est représenté à l'échelle 20 : 1, soit \dfrac{20}{1} .
Les dimensions sur le croquis sont alors 20 fois plus grandes que dans la réalité. L'échelle est supérieure à 1. Il s'agit d'un agrandissement.