Le symétrique d'un point par rapport à une droite

Définition

Symétrique d'un point par rapport à une droite

Étant donnés une droite (d) et un point M n'appartenant pas à (d), le symétrique du point M par rapport à la droite (d) est le point M' tel que la droite (d) est la médiatrice du segment [MM'].

Le point M' est le symétrique du point M par rapport à la droite (d).

Si le point M appartient à la droite (d), alors il est son propre symétrique.

Si le point M' est le symétrique du point M par rapport à une droite (d), alors le point M est le symétrique du point M' par rapport à la droite (d).

On dit que les points M et M' sont symétriques par rapport à la droite (d).

Un point et son symétrique par rapport à une droite sont superposables par pliage suivant cette droite.

Méthodes de construction

Pour construire le symétrique M' d'un point M par rapport à une droite (d) en utilisant une équerre et un compas :

on trace la droite (d′) perpendiculaire à la droite (d) et passant par le point M ;
on nomme H le point d'intersection des droites (d) et (d'). On place alors le point M' de la droite (d') tel que le point H soit le milieu du segment [MM']. Pour cela, on peut reporter la longueur HM à la règle graduée ou avec le compas.
on code la figure en plaçant l'angle droit au point d'intersection des droites (d) et (d'), et on montre que les longueurs HM et \(HM\') sont égales.

Pour construire le symétrique M' d'un point M par rapport à une droite (d) en utilisant uniquement le compas et la règle non graduée :

on choisit un écartement du compas de sorte à pouvoir tracer un arc de cercle coupant la droite (d) en deux points ;
on nomme R et S ces deux points ;
en gardant le même écart de compas que précédemment, on trace de l'autre côté de la droite (d) deux arcs de cercle de centres R et S ;
le point d'intersection de ces deux arcs de cercle est le point M'.

Les propriétés de la symétrie axiale

La symétrie axiale conserve les distances et les angles.

Le symétrique d'une droite est une droite.
Le symétrique d'une demi-droite est une demi-droite.
Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur.
Le symétrique d'un angle est un angle de même mesure.
Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon.

Les figures F₁ et F₂ ci-dessous sont symétriques par rapport à la droite (d).

Les segments symétriques sont de même longueur.
Les angles symétriques sont de même mesure.
Les demi-cercles symétriques sont de même rayon.

III

Le symétrique d'une figure par rapport à une droite

Pour construire le symétrique d'une figure par rapport à une droite, on peut construire le symétrique de chacun des points qui la définissent et on relie ces points entre eux de la même manière que sur la figure initiale.

Pour construire la figure symétrique du polygone ABCDEF, on trace les points A', B', C', D', E' et F', symétriques respectifs des points A, B, C, D, E et F.

On trace ensuite les segments [A'B'], [B'C'], [C'D'], [D'E'], [E'F'] et [F'A'].

Pour construire le symétrique d'une figure par rapport à une droite, on peut également construire les symétriques de quelques points de la figure, puis compléter la figure symétrique en utilisant les propriétés énoncées de la symétrie axiale.

Pour construire la figure symétrique de la figure ci-dessous, on trace les points A' et B', symétriques respectifs des points A et B.

Puis on complète la figure en utilisant le fait que le symétrique d'un angle droit est un angle droit, que le symétrique d'un segment est un segment de même longueur, et que le symétrique d'un quart de cercle est un quart de cercle de même rayon.

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