Le symétrique d'une figure et les propriétés de la symétrie axiale
Lorsque deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d), on dit qu'elles sont symétriques par la symétrie axiale d'axe (d). Les deux figures ont la même forme et les mêmes dimensions.
Le symétrique d'une figure
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles sont superposables par pliage le long de cette droite. Cette droite est appelée « axe de symétrie » de la figure.
Symétrie axiale
Lorsque deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d), on dit qu'elles sont symétriques par la symétrie axiale (ou orthogonale) d'axe \left( d \right) et la droite \left( d \right) est appelée « axe de symétrie ».
Dans l'exemple précédent, les deux figures sont symétriques par la symétrie axiale d'axe (d).
Les propriétés de la symétrie axiale
La symétrie axiale conserve les formes et les dimensions des figures.
Deux figures symétriques ont la même forme et les mêmes dimensions.
Elles ont donc le même périmètre et la même aire (pour les surfaces).
En particulier, dans le cadre d'une symétrie axiale :
- Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur.
- Le symétrique d'une demi-droite est une demi-droite.
- Le symétrique d'une droite est une droite.
- Le symétrique d'un angle est un angle de même mesure.
- Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon.
- Les symétriques de trois points alignés sont trois points alignés.
On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, les aires et l'alignement.
Pour construire le symétrique M' d'un point M par une symétrie axiale d'axe (d) :
- on trace la droite (d') perpendiculaire à la droite (d) et passant par le point M ;
- si H est le point d'intersection des droites (d) et (d'), alors on place le point M' de la droite (d') tel que HM'=HM et les points M et M' sont de part et d'autre de la droite (d).
Pour tracer le symétrique d'une figure \mathcal{F} par rapport à une droite (d), il suffit donc de :
- repérer les points permettant de définir la figure;
- tracer les symétriques des points précédents par rapport à la droite (d) ;
- reconstruire la même figure que la figure initiale à partir des nouveaux points.
- Pour tracer le symétrique du segment [CD] par rapport à la droite (d), il suffit de tracer les symétriques C' et D' des points C et D, puis de tracer le segment [C'D'].
- Pour tracer le symétrique de la demi-droite [EF) par rapport à la droite (d), il suffit de tracer les symétriques E' et F' des points E et F, puis de tracer la demi-droite [E'F').
- Pour tracer le symétrique du cercle de centre G passant par H, il suffit de tracer les symétriques G' et H' des points G et H, puis de tracer le cercle de centre G' passant par H'.
Les axes de symétrie d'une figure
Certaines figures géométriques possèdent des axes de symétrie spécifiques. C'est le cas de certains polygones et des segments.
Les axes de symétrie d'un polygone
Certaines polygones ne possèdent aucun axe de symétrie. D'autres en possèdent un, plusieurs, ou une infinité.
L'axe de symétrie d'un segment : la médiatrice
L'axe de symétrie d'un segment est également sa médiatrice. Cette droite est un ensemble de points situés à égale distance des extrémités du segment.
La médiatrice d'un segment est l'axe de symétrie de ce segment.
Autrement dit, si \left( d \right) est la médiatrice du segment \left[ AB \right], le point B est le symétrique du point A par rapport à (d) (et inversement).
