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  4. Cours : Le calcul littéral

Le calcul littéral Cours

Sommaire

ILes expressions littéralesALa définition d'une expression littéraleBLa structure d'une expression littéraleCLa réduction d'une expression littéraleDLa soustraction d'une expression littéraleIILa simple distributivitéALe développementBLa factorisation
I

Les expressions littérales

Une expression littérale est une expression comprenant à la fois des valeurs numériques et une ou plusieurs lettres. Bien qu'elle puisse s'écrire sous plusieurs formes, les termes qui la composent suivent un ordre particulier. Une expression littérale peut être réduite et écrite de manière plus simple. Quand on la soustrait, on doit ajouter l'opposé de chacun des termes composant cette expression.

A

La définition d'une expression littérale

Une expression littérale est une expression comprenant à la fois des valeurs numériques et une ou plusieurs lettres.

Expression littérale

Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres, ces lettres désignant des nombres qui peuvent varier. Ces lettres sont appelées « variables ».

L'expression A est une expression littérale : A=4a+2b-7.

B

La structure d'une expression littérale

Une expression littérale peut s'écrire sous plusieurs formes, et peut omettre le signe « multiplier » dans certaines circonstances. On doit cependant l'ordonner d'une manière précise : dans l'ordre décroissant des exposants des variables apparaissant dans l'expression.

Une expression littérale peut être écrite sous différentes formes. On trouve, entre autres :

  • des expressions écrites comme une somme de deux expressions ;
  • des expressions écrites comme une différence de deux expressions ;
  • des expressions écrites comme un produit de deux expressions.
  • L'expression littérale A=4a+2b-7 est la somme des expressions 4a et 2b-7.
  • L'expression littérale B=4a-(2b+7) est la différence des expressions 4a et 2b+7.
  • L'expression littérale C=4a\times (2b+7) est le produit des expressions 4a et 2b+7.

Dans une expression littérale, on peut omettre le signe « multiplier » lorsqu'il est placé :

  • devant ou derrière une lettre;
  • devant ou derrière une parenthèse ;
  • entre deux lettres ou deux parenthèses.

Soit l'expression littérale A=4\times (a+2)-3\times b+5\times 7.

On peut l'écrire sous la forme suivante :
A=4\left(a+2\right)-3b+5\times7

Ordonner une expression

Ordonner une expression composée d'additions et/ou de soustractions de termes, c'est écrire les termes dans l'ordre décroissant des exposants des variables apparaissant dans l'expression.

On considère l'expression littérale suivante :
A=12+5x^2-3x+x^3

Ordonner cette expression, c'est l'écrire sous la forme suivante :
A=x^3+5x^2-3x+12

C

La réduction d'une expression littérale

On peut réduire une expression littérale, ce qui revient à l'écrire le plus simplement avec le moins de termes possible.

Réduire une expression littérale

Réduire une expression littérale revient à l'écrire le plus simplement avec le moins de termes possible.

On regroupe les termes de l'expression du même type ensemble lorsque l'expression est composée d'additions et/ou de soustractions de termes.

A = 2a + 4a^2 - a + a^2

Pour réduire l'expression A, on regroupe les termes en a et les termes en a^2 entre eux :
A = \left(2a - a\right) + \left(4a^2 + a^2\right) = a + 5a^2

D

La soustraction d'une expression littérale

Quand on soustrait une expression, on ajoute l'opposé de chacun des termes composant cette expression.

Soustraire une expression revient à ajouter l'opposé de chacun des termes composant cette expression.

Si B=2x^2+x-5 et C=2x-x^2-4, on a :
B-C = 2x^2 + x - 5 - \left(2x - x^2 -4\right)
B-C = 2x^2 + x - 5 \textcolor{Red}{+} \left(\textcolor{Red}{-}2x \textcolor{Red}{+} x^2 \textcolor{Red}{+} 4\right)
B-C = 2x^2 + x - 5 - 2x + x^2 + 4
B-C = \left(2x^2 + x^2\right) + \left(x - 2x\right) + \left(-5 + 4\right)
B-C = 3x^2 - x - 1

Pour supprimer une parenthèse précédée d'un signe « - », on réécrit tous les termes dans la parenthèse en changeant leurs signes.

Dans l'exemple précédent, on a :
B-C = 2x^2 + x - 5 - \left(2x - x^2 -4\right)
B-C = 2x^2 + x - 5 \textcolor{Red}{+} \left(\textcolor{Red}{-}2x \textcolor{Red}{+} x^2 \textcolor{Red}{+} 4\right)

On a bien réécrit les termes dans la parenthèse en changeant leurs signes.

II

La simple distributivité

Parmi les transformations possibles des expressions littérales, le développement permet de transformer des produits en sommes ou en différences, la factorisation permet de transformer certaines sommes ou différences en produits.

A

Le développement

Le développement est la transformation d'un produit de facteur en somme ou différence de termes. La multiplication peut être distributive par rapport à l'addition ou à la soustraction.

La multiplication est distributive par rapport à l'addition.

Soient trois nombres quelconques a, b et c. On a :

a\times (b + c) = a\times b+a\times c

5\left(2 + x\right)=5\times2+5x=10+5x

La multiplication est distributive par rapport à la soustraction.

Soient trois nombres quelconques a, b et c. On a :

a\times (b - c) = a\times b-a\times c

B=7\left(y-5\right)=7y-7\times5=7y-35

Développer une expression

Développer une expression signifie passer d'un produit de facteurs à une somme de termes.

a \left(b+c\right) \xrightarrow{\text{développement}} ab + ac

Les formules précédentes permettent de développer une expression en passant de gauche à droite.

Lorsqu'on distribue 5 sur (a-7) dans l'expression A=5(a-7), on développe l'expression A :
A=5a-5\times 7

On peut réduire ici :
A=5a-35

B

La factorisation

La factorisation est la transformation d'une somme de termes à un produit de facteurs.

Factoriser une expression

Factoriser une expression signifie passer d'une somme de termes à un produit de facteurs.

ab + ac \xrightarrow{\text{factorisation}} a \left(b+c\right)

Soient trois nombres quelconques a, b et c. On a :

a\times b+a\times c=a\times (b + c)

3x+9=3\times x+3\times3=3\times(x+3)

Soient trois nombres quelconques a, b et c. On a :

a\times b-a\times c=a\times (b - c)

12-4x=4\times3-4\times x=4\times(3-x)

On utilise déjà ces formules de factorisation dans des cas simples de réduction sans s'en rendre compte.

Lorsqu'on réduit 7x+3x en 10x, cela revient à factoriser :
7x+3x=x(7+3)=x\times 10=10x

Voir aussi
  • Quiz : Le calcul littéral
  • Exercice : Ordonner une expression littérale
  • Exercice : Soustraire une expression littérale
  • Exercice : Différencier expression littérale développée et expression littérale factorisée
  • Exercice : Développer une expression factorisée à l'aide d'une simple distributivité
  • Exercice : Réduire une expression littérale
  • Exercice : Développer et réduire une expression
  • Exercice : Factoriser une expression simple sans terme constant à l'aide d'une simple distributivité
  • Exercice : Factoriser une expression simple avec terme constant à l'aide d'une simple distributivité
  • Exercice : Traduire un programme de calcul en expression littérale

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