La définition des nombres rationnels
On catégorise les nombres en fonction de certaines propriétés qu'ils possèdent. Les nombres sont rationnels s'ils peuvent s'écrire sous le résultat de la division de deux entiers.
Nombre rationnel
Un nombre rationnel peut s'écrire comme le résultat de la division de deux entiers.
Les nombres suivants sont des nombres rationnels :
- 5 est un nombre rationnel car 10\div 2=5.
- 0,2 est un nombre rationnel car 1\div 5=0{,}2.
- \dfrac{1}{3} est un nombre rationnel car 1\div 3=\dfrac{1}{3}.
Il arrive qu'un nombre rationnel ne puisse pas s'écrire sous forme décimale. C'est notamment le cas de \dfrac{1}{3} dans l'exemple précédent.
Tous les nombres ne sont pas des nombres rationnels.
On parle alors de nombre irrationnel.
Le nombre \pi est un nombre irrationnel, c'est-à-dire non rationnel.
L'écriture fractionnaire
Soit le quotient a\div b avec b\neq0. L'écriture fractionnaire du quotient est \dfrac{a}{b}. Si a et b sont des entiers, alors \dfrac{a}{b} est appelée une « fraction ».
Écriture fractionnaire
Soient a et b deux nombres avec b\neq0. Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a.
L'écriture fractionnaire du quotient se note a\div b ou \dfrac{a}{b}.
Ainsi :
\dfrac{a}{b}\times b = a
a s'appelle le « numérateur » et b s'appelle le « dénominateur ».
Les nombres suivants sont des écritures fractionnaires :
- \dfrac{10{,}8}{3{,}1} avec \dfrac{10{,}8}{3{,}1}\times 3{,}1=10{,}8
- \dfrac{3}{4} avec \dfrac{3}{4}\times 4=3
Fraction
Soient a et b deux nombres tels que b\neq 0.
Si a et b sont des entiers, l'écriture fractionnaire \dfrac{a}{b} est appelée une « fraction ».
\dfrac{3}{4} est une fraction.
Toutes les écritures fractionnaires ne sont pas nécessairement des fractions. En revanche, toutes les fractions sont des écritures fractionnaires.
\dfrac{7}{3} est une fraction et donc également une écriture fractionnaire.
\dfrac{5{,}7}{3} est une écriture fractionnaire mais n'est pas une fraction.
Les nombres a et b sont deux entiers, avec b\neq0.
La fraction \dfrac{a}{b} (que l'on prononce « a sur b ») représente une portion d'une quantité :
- Le nombre b indique en combien de parts égales on a divisé cette quantité.
- Le nombre a indique combien de ces parts on choisit.
Manon a mangé les \dfrac{\textcolor{Blue}{3}}{\textcolor{Red}{8}} du gâteau. Cela signifie que si on découpe le gâteau en 8 parts égales, Manon en a mangé 3.
- \dfrac12 se lit « un demi ».
- \dfrac13 se lit « un tiers ».
- \dfrac14 se lit « un quart ».
- \dfrac15 se lit « un cinquième ».
- \dfrac16 se lit « un sixième ».
- \dfrac17 se lit « un septième ».
- Etc.
Le dénominateur b ne peut jamais être égal à 0.
Le calcul \dfrac{4}{0} est impossible.
Les fractions égales
Il existe plusieurs écritures fractionnaires d'un même nombre, notamment dans le cas d'une fraction. Plusieurs propriétés permettent d'obtenir des fractions égales : elles utilisent la multiplication, la division, l'addition et la soustraction. On peut également simplifier une fraction.
Les propriétés de multiplication et de division
On peut obtenir une fraction égale à une première en multipliant son numérateur et son dénominateur par un même nombre. On peut également diviser son numérateur et son dénominateur par un même nombre. Par ailleurs, multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier le numérateur de cette fraction par ce même nombre.
Soient trois nombres a, b et c avec b\neq0 et c\neq0, alors :
\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times c}{b\times c}
\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\times4}{3\times4}=\dfrac{8}{12}
Soient trois nombres a, b et c avec b\neq0 et c\neq0, alors :
\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div c}{b\div c}
\dfrac{18}{6}=\dfrac{18\div3}{6\div3}=\dfrac{6}{2}
Les propriétés précédentes signifient que la valeur d'une écriture fractionnaire ne change pas lorsqu'on multiplie ou que l'on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Une autre façon d'écrire la propriété précédente est la suivante :
Soient trois nombres a, b et c avec b\neq0 et c\neq0, alors :
\dfrac{ac}{bc}=\dfrac{a}{b}
\dfrac{120}{170}=\dfrac{12\times 10}{17\times 10} donc \dfrac{120}{170}=\dfrac{12}{17}
Cette propriété n'est pas vraie avec l'addition ni la soustraction.
\dfrac{3 + 4}{5 + 4} \neq \dfrac35
Soient trois nombres a, b et c tels que c\neq 0, alors :
a\times \dfrac{b}{c}=\dfrac{a\times b}{c}
Soient trois nombres a, b et c tels que c\neq 0.
\dfrac{b}{c} est le nombre qui, multiplié par c, donne b.
Ainsi :
\dfrac{b}{c}\times c=b
Par conséquent :
a\times \dfrac{b}{c}\times c=a\times b
a\times \dfrac{b}{c}\times c=ab
Or \dfrac{ab}{c} est le nombre qui, multiplié par c, donne ab.
Ainsi :
\dfrac{ab}{c}\times c=ab
On a donc obtenu :
a\times \dfrac{b}{c}\times c=\dfrac{ab}{c}\times c
Comme c\neq 0, on en déduit :
a\times\dfrac{b}{c}=\dfrac{ab}{c}
5\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{5\times 2}{3}=\dfrac{10}{3}
La simplification d'une fraction
Simplifier une fraction revient à trouver une fraction égale dont le dénominateur est plus petit.
Simplifier une fraction
Soit \dfrac{a}{b} une fraction avec b\gt0.
Simplifier une fraction, c'est trouver une fraction égale avec un dénominateur plus petit.
Pour cela, on tente donc de diviser le numérateur et le dénominateur de la première fraction par un même nombre entier non nul.
Pour simplifier \dfrac{28}{12}, on divise le numérateur et le dénominateur par 4 :
\dfrac{28}{12} = \dfrac{7 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac73
Les propriétés d'addition et de soustraction
La somme de deux fractions dont les numérateurs sont différents mais qui ont le même dénominateur est égale à une fraction de même dénominateur et dont le numérateur est égal à la somme des numérateurs des deux premières fractions. La différence de deux fractions dont les numérateurs sont différents mais qui ont le même dénominateur est égale à une fraction de même dénominateur et dont le numérateur est égal à la différence des numérateurs des deux premières fractions.
Soient trois nombres a, b et c tels que c\neq 0, alors :
\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}
\dfrac{8}{5}+\dfrac{11}{5}=\dfrac{8+11}{5}=\dfrac{19}{5}
Soient trois nombres a, b et c tels que c\neq 0, alors :
\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}
\dfrac{8}{5}-\dfrac{11}{5}=\dfrac{8-11}{5}=\dfrac{-3}{5}
Additionner et soustraire des fractions
Quand on rencontre deux fractions dont l'une a un dénominateur multiple de l'autre dénominateur, on peut transformer celle qui a le plus petit dénominateur pour que les deux aient le même dénominateur et que l'on puisse alors les additionner ou les soustraire.
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur, il suffit d'additionner (ou de soustraire) les numérateurs et de conserver le dénominateur.
- \dfrac{7}{3}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{7+5}{3}=\dfrac{12}{3}=4
- \dfrac{7}{3}-\dfrac{5}{3}=\dfrac{7-5}{3}=\dfrac{2}{3}
On retrouve la propriété calculatoire de la partie précédente.
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions dont l'une a un dénominateur multiple du dénominateur de l'autre fraction, il suffit :
- de transformer la fraction ayant le plus petit dénominateur pour que les deux fractions aient le même dénominateur ;
- d'appliquer la propriété précédente pour terminer le calcul.
On considère les deux fractions \dfrac{13}{3} et \dfrac{7}{12}.
On remarque que le dénominateur de la deuxième fraction est un multiple du dénominateur de la première fraction.
En effet :
12=3\times 4
Or :
\dfrac{13}{3}=\dfrac{13\times 4}{3\times 4}, soit \dfrac{13}{3}=\dfrac{52}{12}.
On peut maintenant additionner ou soustraire les fractions \dfrac{13}{3} et \dfrac{7}{12} :
\dfrac{13}{3}+\dfrac{7}{12}=\dfrac{52}{12}+\dfrac{7}{12}=\dfrac{52+7}{12}=\dfrac{59}{12}
Et :
\dfrac{13}{3}-\dfrac{7}{12}=\dfrac{52}{12}-\dfrac{7}{12}=\dfrac{52-7}{12}=\dfrac{45}{12}
Comparer, ranger, encadrer
On peut comparer des nombres rationnels s'ils sont écrits avec le même numérateur ou le même dénominateur. Cela permet de les encadrer et de les ranger.
Comparer des nombres rationnels
Comparer deux nombres rationnels revient à voir lequel est le plus grand, et inversement. Si deux nombres rationnels sont écrits avec le même dénominateur, celui qui a le plus grand numérateur est supérieur à l'autre. Si deux nombres rationnels sont écrits avec le même numérateur, celui qui a le plus petit dénominateur est supérieur.
Soient \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} deux nombres rationnels écrits avec le même dénominateur b\gt0.
- Si a\lt a', alors \dfrac{a}{b}\lt \dfrac{a'}{b}.
- Si a\gt a', alors \dfrac{a}{b}\gt \dfrac{a'}{b}.
- On sait que 2\lt 7, on a donc \dfrac{2}{11}\lt \dfrac{7}{11}.
-
On sait que 8\gt 3, on a donc \dfrac{8}{15}\gt \dfrac{3}{15}.
Si l'on cherche à comparer deux fractions \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b'} telles que b' est un multiple de b, alors on peut remplacer la fraction \dfrac{a}{b} par une fraction avec pour dénominateur b'.
On peut ensuite les comparer grâce à la propriété précédente.
On cherche à comparer les fractions \dfrac{12}{5} et \dfrac{21}{10}.
La deuxième fraction possède un dénominateur multiple de celui de la première fraction.
En effet :
10=5\times 2
Or :
\dfrac{12}{5}=\dfrac{12\times 2}{5\times 2}, soit \dfrac{12}{5}=\dfrac{24}{10}.
On peut maintenant comparer les deux fractions.
Elles ont le même dénominateur positif et 21<24.
Donc :
\dfrac{21}{10}<\dfrac{24}{10}
On en déduit :
\dfrac{21}{10}<\dfrac{12}{5}
Soient \dfrac{a}{b} et \dfrac{a}{b'} deux nombres rationnels de même numérateur positif a.
- Si b\lt b', alors \dfrac{a}{b}\gt \dfrac{a}{b'}.
- Si b\gt b', alors \dfrac{a}{b}\lt \dfrac{a}{b'}.
- On sait que 2\lt 7, on a donc \dfrac{11}{2}\gt \dfrac{11}{7}.
-
On sait que 8\gt 3, on a donc \dfrac{15}{8}\lt \dfrac{15}{3}.
Ranger des nombres rationnels
Ranger des nombres rationnels revient à les classer par ordre croissant, soit du plus petit au plus grand, ou décroissant, soit du plus grand au plus petit.
Ordre croissant
Ranger des nombres rationnels dans l'ordre croissant, c'est les écrire du plus petit au plus grand.
Les nombres rationnels suivants sont rangés dans l'ordre croissant :
\dfrac{2}{3}\lt \dfrac{4}{3}\lt \dfrac{8}{3}
Ordre décroissant
Ranger des nombres rationnels dans l'ordre décroissant, c'est les écrire du plus grand au plus petit.
Les nombres rationnels suivants sont rangés dans l'ordre décroissant :
\dfrac{11}{5}\gt \dfrac{10}{5}\gt \dfrac{4}{5}
Encadrer un nombre rationnel
Encadrer un nombre rationnel revient à déterminer deux nombres : un inférieur au nombre rationnel de départ, et un supérieur.
Encadrer un nombre rationnel
Encadrer un nombre rationnel a par deux autres nombres rationnels, c'est déterminer deux nombres b et c tels que b\lt a\lt c.
On peut encadrer le nombre \dfrac{7}{3} de la manière suivante :
2<\dfrac{7}{3}<3
En effet, on a 6<7<9 et 3>0.
Donc :
\dfrac{6}{3}<\dfrac{7}{3}<\dfrac{9}{3}, soit 2<\dfrac{7}{3}<3.
Repérer des nombres rationnels sur une droite graduée
Pour comparer deux nombres rationnels, on peut les placer sur une droite graduée.
Soit \dfrac{a}{b} un nombre rationnel écrit avec b entier et positif.
Pour repérer \dfrac{a}{b} sur une droite graduée, il peut être utile de « découper » les unités en b parts égales.
Prendre une fraction d'un nombre
Prendre une fraction d'un nombre, c'est prendre une partie de ce nombre. On prend la fraction d'un nombre lorsqu'on effectue un partage ou que l'on prend une proportion d'une quantité. La proportion peut être exprimée en pourcentage.
Prendre la fraction \dfrac{a}{b} d'un nombre c, c'est effectuer le calcul \dfrac{a\times c}{b}, que l'on peut écrire \dfrac{a}{b}\times c ou c\times\dfrac{a}{b}.
Prendre les \dfrac{2}{3} de 27, c'est effectuer le calcul suivant :
\dfrac{2}{3}\times27=\dfrac{54}{3}=18
Soit t un nombre positif.
Prendre t\text{ \%} d'un nombre c, c'est prendre \dfrac{t}{100} de c.
10 % de 52 vaut 52\times \dfrac{10}{100}=5{,}2.