Un professionnel et un amateur vont faire une séance de karting sur la piste ci-dessous (représentée en traits pleins).
Cette piste est constituée de segments, de demi-cercles et de quarts de cercles.
Le professionnel fait un tour de piste en 60 secondes.
L'amateur fait un tour de piste en 72 secondes.
Quelle est la longueur de la piste, arrondie à l'unité près ?
La piste est constituée de :
- 2 demi-cercles de rayon 60 m ;
- 4 quarts de cercle de rayon 30 m ;
- 6 segments.
La longueur totale des 2 demi-cercles de rayon 60 m est égale au périmètre d'un cercle de rayon 60 m, à savoir :
2\times\pi\times{r}=2\times\pi\times60=120\times\pi= 376{,}98\approx377\text{ m}
La longueur totale des 4 quarts de cercle de rayon 30 m est égale au périmètre d'un cercle de rayon 30 m, à savoir :
2\times\pi\times{r}=2\times\pi\times30=60\times\pi=188.49\approx188\text{ m}
La longueur totale des 6 segments est égale à :
CB + AL + KJ + IH + GF + ED = 120 + 60 + 60 + 90 + 60 + 90 = 480 \text{ m}
Par conséquent, la longueur de la piste est égale, arrondie à l'unité, à :
120\pi+60\pi+480 = 1045 m
La longueur de la piste, arrondie à l'unité, est de 1 045 m.
Quelle est la vitesse moyenne du professionnel en m/s, arrondie au centième près ?
Le professionnel parcourt 1 045 m en 60 s.
Sa vitesse moyenne se calcule ainsi :
\dfrac{d}{t}=\dfrac{1\ 045}{60}\approx17{,}42\text{ m/s}
La vitesse moyenne du professionnel, arrondie au centième près, est de 17,42 m/s.
Pour des raisons de sécurité sur ce circuit, les amateurs ne doivent pas dépasser les 60 km/h de moyenne.
Cet amateur respecte-t-il les règles de sécurité ?
L'amateur parcourt 1 045 m en 72 s.
Sa vitesse moyenne se calcule ainsi :
\dfrac{d}{t}=\dfrac{1\ 045}{72}\approx14{,}51\text{ m/s}
On convertit cette vitesse en km/h.
14{,}51 \text{ m} = 0{,}01451 \text{ km}
En une seconde, l'amateur parcourt donc 0{.}1451\text{ km}
Et comme 1 \text{ h} = 3\ 600 \text{ s}, on obtient :
0{,}01451\times3600= 52{,}236 \text{ km/h}
On remarque que 52,236 est inférieur à 60.
En conclusion, l'amateur respecte les règles de sécurité.
Oui, l'amateur respecte les règles de sécurité.
Le professionnel et l'amateur partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours de circuit.
On rappelle que le professionnel effectue un tour en 60 s et l'amateur en 72 s.
Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 60 ?
On décompose 60 en produit de facteurs premiers ainsi :
60 = 6 \times 10 = 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5
La décomposition en produit de facteurs premiers de 60 est 2^2 \times 3 \times 5.
Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 72 ?
On décompose 60 en produit de facteurs premiers ainsi :
72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2
La décomposition en produit de facteurs premiers de 72 est 2^3 \times 3^2.
Au bout de combien de temps se retrouveront-ils ensemble pour la première fois sur la ligne de départ ?
Le nombre de secondes au bout duquel ils se retrouveront ensemble pour la première fois sur la ligne de départ est le plus petit multiple commun à 60 et 72.
On sait que :
- La décomposition en produit de facteurs premiers de 60 est 2^2 \times 3 \times 5.
- La décomposition en produit de facteurs premiers de 72 est 2^3 \times 3^2.
Par conséquent, le plus petit multiple commun à 60 et 72 est égal à :
2^3 \times 3^2 \times 5 = 360
Le professionnel et l'amateur se retrouveront donc ensemble pour la première fois sur la ligne de départ au bout de 360 secondes, c'est-à-dire au bout de 6 minutes.
Ils se retrouveront ensemble pour la première fois sur la ligne de départ au bout de 6 minutes.
Combien auront-ils alors effectué de tours chacun ?
Le professionnel effectue un tour en 60 secondes.
Or, \dfrac{360}{60}=6.
Donc, en 360 secondes, le professionnel effectue 6 tours.
L'amateur effectue un tour en 72 secondes.
Or, \dfrac{360}{72}=5.
Donc, en 360 secondes, l'amateur effectue 5 tours.
Le professionnel aura fait 6 tours et l'amateur aura fait 5 tours.