On considère la matrice de transition M suivante :
M = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4\cr\cr 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}
Quel est l'état stable P associé à la matrice de transition M ?
Existence de l'état stable
D'après le cours, on sait que pour tout graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0, l'état P_n converge vers un état stable P indépendant de l'état initial P_0.
Or, ici la matrice de transition M est d'ordre 2 et ne contient pas de 0. On en déduit qu'il existe un état stable P.
Détermination de l'état stable
D'après le cours, on sait que, quand il existe, l'état stable P d'une matrice de transition M vérifie l'équation :
P = PM
On pose P= \begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} et on cherche à déterminer x et y.
Sachant que M= \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4\cr\cr 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}, l'équation précédente devient donc :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4\cr\cr 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}
Or :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4\cr\cr 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0{,}6x+0{,}4y & 0{,}4x+0{,}6y\end{pmatrix}
L'équation devient :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6x+0{,}4y & 0{,}4x+0{,}6y\end{pmatrix}
Soit, sous forme de système :
\begin{cases} x = 0{,}6x+0{,}4y\cr \cr y= 0{,}4x+0{,}6y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 0{,}4x = 0{,}4y\cr \cr 0{,}4y= 0{,}4x \end{cases}
On en déduit que :
y = x
Or, on sait que x+y = 1 car \left(x,y\right) est un état probabiliste.
Il reste donc à résoudre le système suivant :
\begin{cases} y =x\cr \cr x+y=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = 1-y\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y +y=1\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{1}{2}\cr \cr x=\dfrac{1}{2}\end{cases}
L'état stable P associé à la matrice de transition M est \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
On considère la matrice de transition M suivante :
M = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8\cr\cr 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}
Que dire sur l'état stable P associé à la matrice de transition M ?
On considère la matrice de transition M suivante :
M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1\cr\cr 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}
Que dire sur l'état stable P associé à la matrice de transition M ?
On considère la matrice de transition M suivante :
M = \begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}7\cr\cr 0{,}8& 0{,}2 \end{pmatrix}
Que dire sur l'état stable P associé à la matrice de transition M ?
On considère la matrice de transition M suivante :
M = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4\cr\cr 0{,}5& 0{,}5\end{pmatrix}
Que dire sur l'état stable P associé à la matrice de transition M ?
On considère la matrice de transition M suivante :
M = \begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}25\cr\cr 0{,}1& 0{,}9\end{pmatrix}
Que dire sur l'état stable P associé à la matrice de transition M ?