Etudes graphiques Fiche bac

I

Ensemble de définition et courbe

Domaine de définition

Le domaine de définition \(\displaystyle{D_{f}}\) d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) existe.

Courbe représentative

La courbe représentative \(\displaystyle{C_{f}}\) d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \(\displaystyle{\left(x ; f\left(x\right)\right)}\), pour tous les réels x du domaine de définition de f.

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II

Sens de variation

Fonction croissante

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \leq f\left(y\right)}\)

Fonction décroissante

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \geq f\left(y\right)}\)

Sens de variation et dérivée

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
  • Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
  • Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
III

Signe d'une fonction

Une fonction est positive sur I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.

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Une fonction est négative sur I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.

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IV

Résolution graphique d'équations et d'inéquations

Résolution graphique de l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)=k}\)

Les solutions de l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)=k}\) sont les abscisses des points d'intersection de la courbe \(\displaystyle{C_f}\) avec la droite d'équation \(\displaystyle{y=k}\).

Résolution graphique de l'inéquation \(\displaystyle{f\left(x\right)\geq k}\)

Les solutions de l'inéquation \(\displaystyle{f\left(x\right)\geq k}\) sont les abscisses des points de la courbe \(\displaystyle{C_f}\) situés au-dessus de la droite d'équation \(\displaystyle{y=k}\).

V

Continuité et convexité

Fonction continue

Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon.

Fonction convexe

Une fonction f est dite convexe sur I lorsque sa courbe est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.

Si la fonction f est dérivable deux fois, elle est convexe si et seulement si la dérivée f' est croissante, c'est-à-dire si sa dérivée seconde f'' est positive.

Fonction concave

Une fonction f est dite concave sur I lorsque sa courbe est située entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes.

Si la fonction f est dérivable deux fois, elle est concave si et seulement si la dérivée f' est décroissante, c'est-à-dire si sa dérivée seconde f'' est négative.

Point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la représentation graphique d'une fonction traverse sa tangente en ce point, c'est-à-dire là où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.