Les nombres complexes Fiche bac

Sommaire

INotion de nombre complexeALa forme algébriqueBLe conjuguéCLe moduleDLa représentation analytiqueIILes équations dans \mathbb{C}IIILes formes trigonométriques et exponentiellesALa forme trigonométriqueBLa forme exponentielleCL'interprétation géométrique
I

Notion de nombre complexe

A

La forme algébrique

Nombre complexe

On appelle nombre complexe tout élément de la forme x+iyx et y sont des réels et i un élément vérifiant i^2=-1 .

Forme algébrique

L'écriture z = x + iy (où x et y sont des réels) est appelée forme algébrique de z. Elle est unique.

Parties réelle et imaginaire

Soit un nombre complexe z = x + iy (où x et y sont réels) :

  • On appelle partie réelle de z, notée \text{Re}\left(z\right), le réel x.
  • On appelle partie imaginaire de z, notée \text{Im}\left(z\right), le réel y.

Nombres égaux

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

  • Le nombre z est réel si et seulement si \text{Im}\left(z\right) = 0.
  • Le nombre z est imaginaire pur si et seulement si \text{Re}\left(z\right) = 0.
B

Le conjugué

Conjugué

Soit un nombre complexe sous forme algébrique z = x + iy.
On appelle conjugué de z, noté \overline{z}, le complexe :

x - iy

Soient z et z' deux nombres complexes tels que z=x+iy et z'=x'+iy'.

  • \overline{\overline{z}} = z
  • z + \overline{z} = 2 \text{Re}\left(z\right)
  • z - \overline{z} = 2i \text{ Im}\left(z\right)
  • z est réel \Leftrightarrow z = \overline{z}
  • z est imaginaire pur \Leftrightarrow z = - \overline{z}
  • \overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}
  • \overline{zz'} = \overline{z} \overline{z'}
  • Si z' non nul : \overline{ \left(\dfrac{z}{z'} \right) } = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}
  • Pour tout entier relatif n (avec z\neq 0 si n \lt 0 ) : \overline{z^n}= \left(\overline{z}\right)^{n}
C

Le module

Module

Soit un nombre complexe z = x + iy.
On appelle module de z, noté |z|, le réel :

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

Soient z et z' deux nombres complexes.

  • z \overline{z} = |z|^{2}
  • |z| = |\overline{z}|
  • |z| = |- z|
  • |zz'| = |z| \times |z'|
  • Si z' non nul : \left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}
  • Pour tout entier n : |z^{n}| = |z|^{n}
D

La représentation analytique

Affixe

Soit un repère orthonormal direct du plan \left(O ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right).
À tout point M de coordonnées \left(x ; y\right) on associe le nombre complexe z = x + iy :

  • Le nombre complexe z est appelé affixe du point M (et du vecteur \overrightarrow{OM} ).
  • Le point M est appelé image du nombre complexe z. On définit ainsi le plan complexe.
-

Le module |z| du nombre complexe z, affixe du point M, est égal à la distance OM.

-

Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont égaux si, et seulement s'ils ont même affixe.

On peut se servir de la propriété précédente pour :

  • Déterminer l'affixe d'un point D pour qu'un quadrilatère ABCD soit un parallélogramme, connaissant les affixes des points A, B et C.
  • Déterminer les coordonnées du milieu d'un segment.
II

Les équations dans \mathbb{C}

Les équations du premier degré d'inconnue z à coefficients réels se résolvent dans \mathbb{C} comme dans \mathbb{R}.

Les équations du premier degré faisant intervenir un nombre complexe z et son conjugué \overline{z} se résolvent en remplaçant z et \overline{z} par leurs formes algébriques.

Équations du second degré

Soit une équation du second degré à coefficients réels du type az^{2} + bz + c, avec a \neq 0.

  • Si \Delta \gt 0, cette équation admet deux solutions réelles :

z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

  • Si \Delta=0, cette équation admet une solution (double) réelle :

z_0=\dfrac{-b}{2a}

  • Si \Delta \lt 0, cette équation admet deux solutions complexes conjuguées :

z_{1} =\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta }}{2a} et z_{2} =\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}

Dans le cas où \Delta \lt 0, on aurait pu écrire :

z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a} et z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}

III

Les formes trigonométriques et exponentielles

A

La forme trigonométrique

Argument

On appelle argument de z, noté \arg\left(z\right) la mesure en radians de l'angle orienté \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right) :

\arg\left(z\right) = \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right) \left[2\pi \right]

-

Forme trigonométrique

Soit un nombre complexe z non nul d'argument \theta.

Alors z = |z| \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right).

|z| \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right) est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z.

Réciproquement, si z = r \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right), avec r \gt 0 et \theta réel quelconque, alors :

|z| = r

\arg\left(z\right) = \theta \left[2\pi\right]

Soit z un nombre complexe non nul d'argument \theta et de forme algébrique x+iy, avec x et y réels. Alors :

x=|z|\cos\left(\theta\right) et y=|z|\sin\left(\theta\right)

Autrement dit :

\cos\left(\theta\right)=\dfrac{x}{|z|} et \sin\left(\theta\right)=\dfrac{y}{|z|}

Soient z et z' deux nombres complexes non nuls.

  • \arg\left(zz'\right) = \arg\left(z\right) + \arg\left(z'\right) \left[2\pi\right]
  • \arg\left(\dfrac{1}{z}\right) = - \arg\left(z\right) \left[2\pi\right]
  • \arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg\left(z\right) - \arg\left(z'\right) \left[2\pi\right]
  • Pour tout entier naturel n : \arg\left(z^{n}\right) = n \arg\left(z\right) \left[2\pi\right]
  • z est réel \Leftrightarrow \arg\left(z\right) = 0 \left[2\pi \right] ou \arg\left(z\right) = \pi \left[2\pi \right]
  • z est imaginaire pur \Leftrightarrow \arg\left(z\right) = \dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right] ou \arg\left(z\right) = -\dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right]
B

La forme exponentielle

Exponentielle complexe

Pour tout réel \theta, on pose :

e^{i\theta} = \cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)

Forme exponentielle

Soit un nombre complexe z non nul d'argument \theta.

Alors z = |z| e^{i\theta}.

|z| e^{i\theta} est appelée forme exponentielle du nombre complexe z.
Réciproquement, si z = re^{i\theta}, avec r \gt 0 et \theta réel quelconque, alors :

|z| = r

arg\left(z\right) = \theta \left[2\pi\right]

Soient \theta et \theta' deux réels.

  • \overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}
  • e^{i\left(\theta+\theta'\right)} = e^{i\theta} e^{i\theta'}
  • \dfrac{1}{e^{i\theta}}= e^{-i\theta}
  • Pour tout entier relatif n : \left(e^{i\theta}\right)^{n} = e^{in\theta} (Cette formule s'appelle "formule de Moivre".)

Formule d'Euler

Soit \theta un réel. Alors :

\cos\left(\theta\right)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} et \sin\left(\theta\right)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

Ces formules permettent de linéariser \left[\cos\left(\theta\right)\right]^n (ou \left[\sin\left(\theta\right)\right]^n ) où n est un entier naturel et \theta un réel quelconque, c'est-à-dire écrire \left[\cos\left(\theta\right)\right]^n (ou \left[\sin\left(\theta\right)\right]^n ) en fonction de \cos\left(\theta\right), \sin\left(\theta\right), \cos\left(2\theta\right), \sin\left(2\theta\right), ..., \cos\left(n\theta\right) et \sin\left(n\theta\right).

C

L'interprétation géométrique

Distance

Soient A et B deux points d'affixes respectives z_{A} et z_{B} :

AB = |z_{B} - z_{A}|

Soient A et B deux points d'affixes respectives a et b.

L'ensemble des points M (d'affixe z) du plan complexe vérifiant |z-a|=|z-b| est la médiatrice du segment \left[ AB \right].

Autrement dit, si A, B et M sont des points du plan complexe d'affixes respectives a, b et z. Alors M appartient à la médiatrice du segment \left[ AB \right] si, et seulement si, |z-a|=|z-b|.

Soit \Omega (d'affixe \omega) un point du plan complexe et r un réel positif.

L'ensemble des points M (d'affixe z) tels que |z-\omega|=r est le cercle de centre \Omega et de rayon r.

Autrement dit, si \Omega (d'affixe w) est un point du plan complexe et r un réel positif, alors un point M d'affixe z appartient au cercle de centre \Omega et de rayon r si, et seulement si, |z-\omega|=r.

Soit \Omega (d'affixe w) un point du plan complexe et r un réel positif.

L'ensemble des points M (d'affixe z) tels que |z-\omega| \lt r est le disque ouvert de centre \Omega et de rayon r.

L'ensemble des points M (d'affixe z) tels que |z-\omega| \gt r est le plan entier privé du disque de centre \Omega et de rayon r.

Angle

Soient A et B deux points d'affixes respectives z_{A} et z_{B} :

\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AB}\right) = \arg\left(z_{B} - z_{A}\right) \left[2\pi\right]

Argument d'un quotient (1)

Soient \overrightarrow{v_{1}} et \overrightarrow{v_{2}} deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z_{1} et z_{2} :

\left(\overrightarrow{v_{1}} ; \overrightarrow{v_{2}}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{2}}{z_{1}}\right) \left[2\pi\right]

Argument d'un quotient (2)

Soient A, B et C trois points distincts d'affixes respectives z_{A}, z_{B} et z_{C} :

\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) \left[2\pi\right]