Les probabilités Fiche bac

I

Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles

Soient A et B deux événements, avec A de probabilité non nulle.
On définit la probabilité de B sachant A par :

\(\displaystyle{P_{A}\left(B\right) =\dfrac{P\left(A \cap B\right)}{P\left(A\right)}}\)

Formule des probabilités totales

Soit \(\displaystyle{{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}}}\) un système complet d'événements de l'univers \(\displaystyle{\Omega}\) ayant chacun une probabilité non nulle.
Pour tout événement A de E :

\(\displaystyle{P\left(A\right) = P\left(A \cap E_{1}\right) + P\left(A \cap E_{2}\right) + P\left(A \cap E_{3}\right) +... + P\left(A \cap E_{k}\right)}\)

II

Loi binomiale

Loi binomiale

Soit un réel p compris entre 0 et 1 et n un entier naturel non nul.
Le nombre de succès dans la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes suit la loi binomiale de paramètres n et p.

Une variable aléatoire suit ainsi la loi binomiale de paramètres n et p, notée \(\displaystyle{B\left(n ; p\right)}\), si :

  • \(\displaystyle{X\left(\Omega\right) = \{0;1;...;n\}}\)
  • Pour tout entier \(\displaystyle{k \in \{0;1;...;n\} \text{ , } P\left(X = k\right) =\binom{n}{k}p^{k} \left(1 - p\right)^{n-k}}\)

Le coefficient \(\displaystyle{\binom{n}{k}}\) est égal au nombre de possibilités de placer les k succès parmi les n répétitions.

Espérance et variance d'une loi binomiale

Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :

\(\displaystyle{E\left(X\right) = np}\)

\(\displaystyle{V\left(X\right) = np\left(1 - p\right)}\)

III

Lois à densité

A

Loi uniforme

Loi uniforme sur \(\displaystyle{\left[a;b\right]}\)

Fonction de densité sur \(\displaystyle{\left[a;b\right]}\) \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{1}{b-a}}\)
Probabilité

Pour tous réels c et d tels que \(\displaystyle{a \leq c \leq d \leq b }\) :

\(\displaystyle{P\left(c \leq X \leq d\right) = \dfrac{d-c}{b-a}}\)

Espérance \(\displaystyle{E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}}\)
B

Loi normale

Loi normale centrée réduite \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(0;1\right)}\)

Fonction de densité sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}}\)
Probabilité

\(\displaystyle{P\left(X \leq a\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{a}e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt}\)

Espérance \(\displaystyle{E\left(X\right) = 0}\)
Variance \(\displaystyle{V\left(X\right)=1}\)

Valeurs remarquables d'une loi normale centrée réduite

Si X suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(0;1\right)}\), on a les valeurs remarquables suivantes :

\(\displaystyle{P\left(-1 \leq X \leq 1\right) \approx 0,683}\)

\(\displaystyle{P\left(-2 \leq X \leq 2\right) \approx 0,954}\)

\(\displaystyle{P\left(-3 \leq X \leq 3\right) \approx 0,997}\)

\(\displaystyle{P\left(-a \leq X \leq a\right) = 0,95}\) pour \(\displaystyle{a\approx 1,96}\)

\(\displaystyle{P\left(-a\leq X\leq a\right)=0,99}\) pour \(\displaystyle{a\approx 2,58}\)

Loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\)

Définition Une variable aléatoire X suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\) si la variable aléatoire \(\displaystyle{\dfrac{X-\mu}{\sigma}}\) suit la loi normale centrée réduite.
Espérance \(\displaystyle{E\left(X\right) = \mu}\)
Variance \(\displaystyle{V\left(X\right)=\sigma^2}\)

Valeurs remarquables d'une loi normale

Si X suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\), on a les valeurs remarquables suivantes :

\(\displaystyle{P\left(\mu - \sigma \leq X \leq\mu + \sigma\right) \approx 0,683}\)

\(\displaystyle{P\left(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma\right) \approx 0,954}\)

\(\displaystyle{P\left(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma\right) \approx 0,997}\)

IV

Intervalle de fluctuation et estimation

Intervalle de fluctuation au seuil de 95%

L'intervalle de fluctuation au seuil 95% de la fréquence d'apparition d'un caractère, de proportion connue p, dans un échantillon aléatoire de taille n (à condition d'avoir \(\displaystyle{n \geq 30 \text{ , } np \geq 5 \text{ , } n\left(1-p\right) \geq 5}\) ) est : \(\displaystyle{\left[ p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} ; p + 1,96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} \right]}\).

Intervalle de confiance

On considère une épreuve de Bernoulli dont on veut estimer la probabilité de succès p. On appelle \(\displaystyle{f_n}\) la fréquence d'apparition du succès après n répétitions indépendantes de cette épreuve. Si \(\displaystyle{n \geq 30}\), \(\displaystyle{nf_n \geq 5}\) et \(\displaystyle{n\left(1-f_n\right) \geq 5}\), alors p appartient à l'intervalle suivant avec un niveau de confiance de 95% :

\(\displaystyle{\left[ f_n - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f_n + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]}\)

Il s'agit de l'intervalle de confiance à 95% de la proportion p du caractère étudié dans la population. C'est donc l'intervalle centré sur \(\displaystyle{f_n}\) dans lequel on s'attend à trouver la proportion p avec une probabilité de 95%.