Les probabilitésFiche bac

I

Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles

Soient A et B deux événements, avec A de probabilité non nulle.
On définit la probabilité de B sachant A par :

P_{A}\left(B\right) =\dfrac{P\left(A \cap B\right)}{P\left(A\right)}

Formule des probabilités totales

Soit {E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}} un système complet d'événements de l'univers \Omega ayant chacun une probabilité non nulle.
Pour tout événement A de E :

P\left(A\right) = P\left(A \cap E_{1}\right) + P\left(A \cap E_{2}\right) + P\left(A \cap E_{3}\right) +... + P\left(A \cap E_{k}\right)

II

Loi binomiale

Loi binomiale

Soit un réel p compris entre 0 et 1 et n un entier naturel non nul.
Le nombre de succès dans la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes suit la loi binomiale de paramètres n et p.

Une variable aléatoire suit ainsi la loi binomiale de paramètres n et p, notée B\left(n ; p\right), si :

  • X\left(\Omega\right) = \{0;1;...;n\}
  • Pour tout entier k \in \{0;1;...;n\} \text{ , } P\left(X = k\right) =\binom{n}{k}p^{k} \left(1 - p\right)^{n-k}

Le coefficient \binom{n}{k} est égal au nombre de possibilités de placer les k succès parmi les n répétitions.

Espérance et variance d'une loi binomiale

Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :

E\left(X\right) = np

V\left(X\right) = np\left(1 - p\right)

III

Lois à densité

A

Loi uniforme

Loi uniforme sur \left[a;b\right]

Fonction de densité sur \left[a;b\right] f\left(x\right)=\dfrac{1}{b-a}
Probabilité

Pour tous réels c et d tels que a \leq c \leq d \leq b :

P\left(c \leq X \leq d\right) = \dfrac{d-c}{b-a}

Espérance E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}
B

Loi normale

Loi normale centrée réduite \mathcal{N}\left(0;1\right)

Fonction de densité sur \mathbb{R} f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}
Probabilité

P\left(X \leq a\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{a}e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt

Espérance E\left(X\right) = 0
Variance V\left(X\right)=1

Valeurs remarquables d'une loi normale centrée réduite

Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(0;1\right), on a les valeurs remarquables suivantes :

P\left(-1 \leq X \leq 1\right) \approx 0{,}683

P\left(-2 \leq X \leq 2\right) \approx 0{,}954

P\left(-3 \leq X \leq 3\right) \approx 0{,}997

P\left(-a \leq X \leq a\right) = 0{,}95 pour a\approx 1{,}96

P\left(-a\leq X\leq a\right)=0{,}99 pour a\approx 2{,}58

Loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)

Définition Une variable aléatoire X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right) si la variable aléatoire \dfrac{X-\mu}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite.
Espérance E\left(X\right) = \mu
Variance V\left(X\right)=\sigma^2

Valeurs remarquables d'une loi normale

Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right), on a les valeurs remarquables suivantes :

P\left(\mu - \sigma \leq X \leq\mu + \sigma\right) \approx 0{,}683

P\left(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma\right) \approx 0{,}954

P\left(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma\right) \approx 0{,}997

IV

Intervalle de fluctuation et estimation

Intervalle de fluctuation au seuil de 95%

L'intervalle de fluctuation au seuil 95% de la fréquence d'apparition d'un caractère, de proportion connue p, dans un échantillon aléatoire de taille n (à condition d'avoir n \geq 30 \text{ , } np \geq 5 \text{ , } n\left(1-p\right) \geq 5 ) est : \left[ p - 1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} ; p + 1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} \right].

Intervalle de confiance

On considère une épreuve de Bernoulli dont on veut estimer la probabilité de succès p. On appelle f_n la fréquence d'apparition du succès après n répétitions indépendantes de cette épreuve. Si n \geq 30, nf_n \geq 5 et n\left(1-f_n\right) \geq 5, alors p appartient à l'intervalle suivant avec un niveau de confiance de 95% :

\left[ f_n - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f_n + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]

Il s'agit de l'intervalle de confiance à 95% de la proportion p du caractère étudié dans la population. C'est donc l'intervalle centré sur f_n dans lequel on s'attend à trouver la proportion p avec une probabilité de 95%.