Les suites Fiche bac

Sommaire

ISens de variationIISuite majorée, minorée, bornéeIIISuites arithmétiques et géométriquesIVSuites arithmético-géométriques
I

Sens de variation

Suite croissante

La suite \left(u_n\right) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, u_{n+1}\geq u_n.

Suite décroissante

La suite \left(u_n\right) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, u_{n+1}\leq u_n.

Suite monotone

Une suite est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante.

II

Suite majorée, minorée, bornée

Suite majorée

Une suite \left(u_n\right) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, u_n\leq M.

Suite minorée

Une suite \left(u_n\right) est minorée si et seulement s'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n u_n\geq m.

Suite bornée

Une suite est bornée si et seulement si elle est à la fois minorée et majorée.

III

Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique de raison r et de premier terme u_0 Suite géométrique de raison q et de premier terme u_0
Relation de récurrence u_{n+1}=u_n+r u_{n+1}=u_n\times q
Terme général

Pour tout entier n\geq p :

u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r

En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0 :

u_{n} = u_{0} + nr

Pour tout entier n\geq p :

u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}

En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0 :

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

La limite d'une suite géométrique de terme général q^{n}

La limite de la suite géométrique de terme général q^{n} dépend de la valeur de q :

Condition sur q Limite de \left(q^n\right)
0 \lt q \lt 1 \lim_{n \to +\infty } q^{n} = 0
q = 1 \lim_{n \to +\infty } q^{n} = 1
q \gt 1 \lim_{n \to +\infty } q^{n} = + \infty

Soit un réel q\neq 1. Alors, pour tout entier naturel n\geq 1,

1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

IV

Suites arithmético-géométriques

Suite arithmético-géométrique

Soient deux réels a et b.

Les suites \left(u_n\right) définies par les données du premier terme u_0 et d'une relation de récurrence du type u_{n+1}=au_n+b sont appelées suites arithmético-géométriques.

La suite \left(u_n\right) définie sur \mathbb{N} par \begin{cases}u_0=5\\u_{n+1}=3u_n-1\end{cases} est une suite arithmético-géométrique.

Lors de l'étude d'une suite arithmético-géométrique de relation u_{n+1}=au_n+b, avec a\neq 1 (sinon la suite est arithmétique), l'énoncé proposera quasiment à chaque fois d'étudier une suite auxiliaire \left(v_n\right) telle que v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}.

Il sera alors, en général, demandé de :

  • Montrer que la suite \left(v_n\right) est géométrique (elle le sera de raison a).
  • D'en déduire une forme explicite de v_n.
  • Puis une forme explicite de u_n.

On pourra alors par exemple calculer la limite de \left(u_n\right).

Avec l'exemple précédent, l'énoncé proposerait d'étudier la suite \left(v_n\right) définie pour tout entier naturel n par v_n=u_n-\dfrac{-1}{1-3}, soit v_n=u_n-\dfrac{1}{2}.

Il sera assez simple de montrer que la suite \left(v_n\right) est géométrique de raison 3.

On en déduit que, pour tout entier naturel n, v_n=v_0\times 3^n=\dfrac{9}{2}\times 3^n,

puis, comme u_n=v_n+\dfrac{1}{2}, on obtient : u_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{2}\times 3^n.

Puisque 3 \gt 1, on obtient \lim_{n\to +\infty} \left(3^n\right)=+\infty, puis \lim_{n\to +\infty} \left(u_n\right)=+\infty.

Il arrive assez souvent que l'on ait à résoudre une inéquation du type u_n\geq A ou u_n\leq A, où A est un réel donné.

L'utilisation de la fonction ln donne rapidement la réponse.

Résolvons l'inéquation u_n\geq 50, où \left(u_n\right) est la suite définie dans l'exemple précédent.

\text{Pour tout }n\geq 100, \\u_n\geq 50\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{2}\times 3^n\geq 50 \\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{2}\times 3^n\geq \dfrac{99}{2}\\ \Leftrightarrow 3^n\geq 11\\ \Leftrightarrow \ln\left( 3^n\right)\geq \ln\left(11\right)\\ \Leftrightarrow n\ln\left(3\right)\geq \ln\left(11\right)\\ \Leftrightarrow n\geq \dfrac{\ln\left(11\right)}{\ln\left(3\right)}\text{, car }\ln\left(3\right) \gt 0

Or, \dfrac{\ln\left(11\right)}{\ln\left(3\right)}\approx 2,18.

Comme n est un entier naturel, on obtient donc n\geq 3.

L'ensemble des solutions est l'ensemble des entiers naturels supérieur ou égaux à 3.