Matrices Fiche bac

I

Matrices et opérations

A

Vocabulaire et définitions

Matrice

Une matrice de taille \(\displaystyle{\left(m,n\right)}\) est un tableau de réels composé de \(\displaystyle{m}\) lignes et \(\displaystyle{n}\) colonnes pour m et n deux entiers naturels.

Matrice carrée

Une matrice carrée est une matrice possédant autant de lignes que de colonnes.

Matrice ligne

Une matrice ligne est une matrice formée d'une seule ligne.

Matrice colonne

Une matrice colonne est une matrice formée d'une seule colonne.

Matrice diagonale

Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls.

On note \(\displaystyle{diag\left(a_1;a_2;\dots;a_n\right)}\) la matrice diagonale dont les éléments de la diagonales sont \(\displaystyle{a_1, a_2, \dots, a_n}\).

Matrice nulle

Une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont nuls. Si de plus celle-ci est une matrice carrée d'ordre \(\displaystyle{n}\) elle est notée \(\displaystyle{0_n}\).

Matrice identité

Une matrice identité est une matrice diagonale formée d'une diagonale de 1.

Deux matrices sont égales si et seulement si elles sont de même taille et leurs coefficients de même position sont égaux.

B

Somme et produit par un réel

Somme de deux matrices

Pour additionner deux matrices de même taille, on additionne à chaque position leurs termes deux à deux.

Multiplication d'une matrice par un réel

Pour multiplier une matrice par un réel, on multiplie chaque coefficient de la matrice par ce réel.

C

Produit de deux matrices carrées

Le produit de deux matrices n'existe que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde.

Produit de deux matrices

Le terme de position \(\displaystyle{\left(i,j\right)}\) de la matrice produit \(\displaystyle{AB}\) est égal au produit de la \(\displaystyle{i}\) -e ligne de \(\displaystyle{A}\) par la \(\displaystyle{j}\) -e colonne de \(\displaystyle{B}\).

Soit un entier naturel non nul.

Considérons les matrices carrées \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\) et \(\displaystyle{C}\) de même ordre \(\displaystyle{n}\).

\(\displaystyle{\left(A+B\right)\times C=A\times C + B \times C}\)

\(\displaystyle{A\times \left(B+C\right)=A\times B + A\times C}\)

\(\displaystyle{A\times \left(B\times C\right)=\left(A\times B \right)\times C}\)

Pour tout réel \(\displaystyle{k}\) : \(\displaystyle{k\times \left(A\times B\right)=\left(k\times A \right)\times B=A\times \left(k\times B\right)}\)

\(\displaystyle{A\times I_n=I_n\times A=A}\), où \(\displaystyle{I_n}\) est la matrice identité d'ordre \(\displaystyle{n}\)

En général : \(\displaystyle{A\times B \neq B\times A}\).

II

Inverse d'une matrice carrée

Matrice inverse

Une matrice carrée \(\displaystyle{A}\) d'ordre \(\displaystyle{n}\) est inversible si et seulement s'il existe une matrice \(\displaystyle{B}\) telle que \(\displaystyle{AB=BA=I_n}\). On note cet unique inverse \(\displaystyle{A^{-1}}\).

Soit n un entier naturel non nul.

Pour toutes matrices A et B carrées d'ordre n :

  • si A est inversible, alors \(\displaystyle{A^{-1}}\) l'est également et \(\displaystyle{\left(A^{-1}\right)^{-1}=A}\).
  • si A et B sont inversibles, alors la matrice \(\displaystyle{A\times B}\) l'est également et \(\displaystyle{\left(A\times B\right)^{-1}=B^{-1}\times A^{-1}}\).

Écriture matricielle d'un système d'équations

La forme matricielle du système \(\displaystyle{\begin{cases}ax + by = s \cr cx + dy = t\end{cases}}\) est \(\displaystyle{\begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s \cr t\end{pmatrix}}\).

Si \(\displaystyle{\begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix}}\) est inversible, alors la matrice colonne des solutions est : \(\displaystyle{\begin{pmatrix}x \cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix}^{-1}\times\begin{pmatrix}s \cr t\end{pmatrix}}\).

III

Puissance d'une matrice carrée

Puissance d'une matrice carrée

Soit un entier naturel \(\displaystyle{n}\) non nul et une matrice carrée \(\displaystyle{A}\).

\(\displaystyle{A^n=A\times A\times A\times \cdot\cdot\cdot \times A}\)

Pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{m}\) et toute matrice carrée \(\displaystyle{A}\) :

\(\displaystyle{A^m \times A^n=A^{m+n}}\)

Soit A une matrice diagonale \(\displaystyle{diag\left(a_1;a_2;\dots;a_n\right)}\) et m un entier naturel.

Alors, \(\displaystyle{A^m=diag\left(a_1^m;a_2^m;\dots;a_n^m\right)}\).

IV

Matrices diagonalisables

Matrice diagonalisable

Une matrice carrée A est dite diagonalisable s'il existe une matrice carrée inversible P et une matrice diagonale D telles que \(\displaystyle{P^{-1}AP=D}\).

Si A est une matrice diagonalisable telle que \(\displaystyle{P^{-1}AP=D}\)P est une matrice inversible et D une matrice diagonale, alors pour tout entier naturel n, on a :

\(\displaystyle{A^n=PD^nP^{-1}}\)

V

Suites et matrices

Convergence d'une suite de matrices colonnes

Une suite de matrices colonnes \(\displaystyle{\left(U_n\right)}\)\(\displaystyle{U_n=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}}\) est dite convergente si les deux suites \(\displaystyle{\left(a_n\right)}\) et \(\displaystyle{\left(b_n\right)}\) convergent.

Soit \(\displaystyle{\left(U_n\right)}\) une suite de matrices colonnes de taille \(\displaystyle{m\geq 2}\) définie pour tout entier naturel n par \(\displaystyle{U_{n+1}=AU_n}\)A est une matrice carrée d'ordre k.

Alors, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{U_n=A^n\times U_0}\).

Soit \(\displaystyle{\left(U_n\right)}\) une suite de matrices colonnes de taille m définie, pour tout entier naturel n, par \(\displaystyle{U_{n+1}=AU_n+B}\).

Si une matrice C vérifie \(\displaystyle{C=AC+B}\), alors la suite \(\displaystyle{\left(V_n\right)}\), définie pour tout entier naturel n par \(\displaystyle{V_n=U_n-C}\), vérifie :

pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{V_{n+1}=AV_n}\), donc \(\displaystyle{V_n=A^n\times V_0}\)

Marche aléatoire

Lorsqu'un système n'ayant que deux états possibles évolue par étapes successives aléatoires et indépendantes, on dit que le système suit une marche aléatoire.

Matrice de transition

Soit une marche aléatoire sur un système ne comptant que deux états possibles, notés 1 et 2.

On note \(\displaystyle{M_n}\) la matrice colonne \(\displaystyle{\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}}\)\(\displaystyle{a_n}\) (resp. \(\displaystyle{b_n}\) ) est la probabilité, à l'étape n, que le système soit dans l'état 1.

Soit p la probabilité de passer de l'état 1 à l'état 2 et q la probabilité de passer de l'état 2 à l'état 1.

Alors, la matrice \(\displaystyle{T=\begin{pmatrix}1-p&q\\p&1-q\end{pmatrix}}\) est appelée matrice de transition.

Matrice des états

La matrice \(\displaystyle{M_n}\) s'appelle matrice des états à l'étape n.

Avec les notations de la définition précédente, on a, pour tout entier naturel n :

  • \(\displaystyle{a_n+b_n=1}\)
  • \(\displaystyle{M_{n+1}=T\times M_n}\)
  • \(\displaystyle{M_n=T^n\times M_0}\)

État stable

Un état stable est une matrice des états M vérifiant \(\displaystyle{T\times M=M}\).

Avec les notations précédentes, si la matrice de transition ne contient pas de 0, alors :

  • Il existe une unique état stable \(M\).
  • La suite \(\displaystyle{\left(M_n\right)}\) des états converge vers l'état stable.

On étudie l'évolution d'une maladie sur une population stable. Chaque individu de cette population est soit malade, soit sain.

On suppose que pour chaque individu, d'une semaine sur l'autre :

- s'il était malade, il le reste la semaine suivante avec une probabilité de \(\displaystyle{\dfrac14}\).

- sil était sain, il le reste la semaine suivante avec une probabilité de \(\displaystyle{\dfrac23}\).

Au début de l'étude, 5% de la population est malade.

Pour tout entier \(\displaystyle{n\geq0}\), on note \(\displaystyle{a_n}\) la probabilité qu'un individu choisi au hasard soit malade, et \(\displaystyle{b_n}\) celle qu'il soit sain, au bout de \(\displaystyle{n}\) semaines.

\(\displaystyle{M_n}\) est la matrice colonne des probabilités : \(\displaystyle{M_n=\begin{pmatrix} a_n \cr\cr b_n \end{pmatrix}}\). Ainsi, \(\displaystyle{M_0=\begin{pmatrix} 0,05 \cr\cr 0,95 \end{pmatrix}}\)

Pour tout entier naturel n, on a :

\(\displaystyle{M_{n+1}=T \times M_n}\) avec \(\displaystyle{T=\begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac13 \cr\cr \dfrac34 & \dfrac 23 \end{pmatrix}}\)

La matrice de transition est donc : \(\displaystyle{T=\begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac13 \cr\cr \dfrac34 & \dfrac 23 \end{pmatrix}}\)

On peut démontrer par un raisonnement par récurrence que pour tout \(\displaystyle{n\geq 0}\), \(\displaystyle{M_n=T^n\times M_0}\) avec \(\displaystyle{T^n=\begin{pmatrix} \dfrac{4}{13}+\left( \dfrac{-1}{12} \right)^n\times\dfrac{9}{13} & \dfrac{4}{13}+\left( \dfrac{-1}{12} \right)^n\times\dfrac{-4}{13} \cr\cr \dfrac{9}{13}+\left( \dfrac{-1}{12} \right)^n\times\dfrac{-9}{13} & \dfrac{9}{13}+\left( \dfrac{-1}{12} \right)^n\times\dfrac{4}{13} \end{pmatrix}}\).

On peut alors en déduire que, pour tout entier \(\displaystyle{n\geq 0}\) : \(\displaystyle{M_n=\begin{pmatrix} \dfrac{4}{13}-\dfrac{67}{260}\left( \dfrac{-1}{12} \right)^n \cr\cr \dfrac{9}{13}-\dfrac{67}{260}\left( \dfrac{-1}{12} \right)^n \end{pmatrix}}\).

Comme \(\displaystyle{-1\lt \dfrac{-1}{12} \lt 1}\), on a \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left( \dfrac{-1}{12} \right)^n=0}\). Par conséquent, la suite \(\displaystyle{\left( M_n \right)}\) converge vers la matrice colonne \(\displaystyle{M=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{13} \cr\cr \dfrac{9}{13} \end{pmatrix}}\).

On peut vérifier que M est bien un état stable du système (en fait, le seul état stable du système).

Au bout d'un grand nombre de semaines, la probabilité que l'individu soit malade tendra vers \(\displaystyle{\dfrac{4}{13}}\), alors que celle qu'il soit sain vers \(\displaystyle{\dfrac{9}{13}}\).