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Equations et inéquations Fiche brevet

I

Les équations du premier degré à une inconnue

Solution d'une équation

Un nombre \(a\) est solution d'une équation à une inconnue \(x\) si en remplaçant \(x\) par \(a\), l'égalité de l'équation est vérifiée.

Le nombre \(−5\) est solution de l'équation \(2x+3=−2+x\), d'inconnue \(x\).

En effet, pour \(x=−5\), on obtient :

  • \(2x+3=2\times (−5)+3=−10+3=−7\)
  • Et \(−2+x=−2+(−5)=−7\)

L'égalité \(2x+3=−2+x\) est donc bien vérifiée lorsque l'on remplace \(x\) par \(−5\).

Équation de la forme \(\displaystyle{ax=b}\)

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres connus, avec \(\displaystyle{a}\) différent de 0.
L'équation \(\displaystyle{ax = b}\), d'inconnue \(\displaystyle{x}\), admet une unique solution :

\(\displaystyle{x =\dfrac{b}{a}}\)

L'équation \(2x=3\) admet pour unique solution le nombre \(x=\dfrac{3}{2}\).

Cela signifie que pour \(x=\dfrac{3}{2}\), on a \(2x=3\) et que \(\dfrac{3}{2}\) est le seul nombre \(x\) vérifiant \(2x=3\).

Produit de facteurs égal à zéro

Un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.

Considérons l'équation suivante : \(\displaystyle{\left(2x-1\right)\left(x+5\right)=0}\).

Ainsi, on a : \(\displaystyle{2x-1=0}\) ou \(\displaystyle{x+5=0}\).

C'est-à-dire : \(\displaystyle{x=\dfrac12}\) ou \(\displaystyle{x=-5}\).

Conclusion : les solutions de l'équation sont \(\displaystyle{\dfrac12}\) et −5.

Équation de la forme \(\displaystyle{x^2=a}\)

Soit \(\displaystyle{a}\) un nombre connu.
L'équation \(\displaystyle{x^{2} = a}\) , d'inconnue \(\displaystyle{x}\), admet :

  • Deux solutions si \(\displaystyle{a \gt 0}\) : \(\displaystyle{\sqrt{a}}\) et \(\displaystyle{- \sqrt{a}}\)
  • Une solution si \(\displaystyle{a = 0}\) : \(\displaystyle{0}\)
  • Aucune solution si \(\displaystyle{a \lt 0}\)

Considérons l'équation (E) : \(x^2=16\).

Cette équation est du type \(x^2=a\) avec \(a=16\).

Comme \(a>0\), l'équation (E) admet deux solutions :

  • \(x=\sqrt{16}=4\)
  • et \(x=-\sqrt{16}=−4\)
II

Les inéquations du premier degré à une inconnue

Intervalle solution

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres connus, avec \(\displaystyle{a\gt0}\).
Les inéquations du premier degré \(\displaystyle{ax \gt b}\), \(\displaystyle{ax \geq b}\), \(\displaystyle{ax \lt b}\), \(\displaystyle{ax \leq b}\), d'inconnue \(\displaystyle{x}\), admettent une infinité de solutions. On parle d'intervalle solution.

  • L'équation \(ax>b\) admet pour solutions tous les nombres strictement supérieurs à \(\dfrac{b}{a}\).
  • L'équation \(ax\geq b\) admet pour solutions tous les nombres supérieurs ou égaux à \(\dfrac{b}{a}\).
  • L'équation \(ax<b\) admet pour solutions tous les nombres strictement inférieurs à \(\dfrac{b}{a}\).
  • L'équation \(ax\leq b\) admet pour solutions tous les nombres inférieurs ou égaux à \(\dfrac{b}{a}\).

L'équation \(5x>10\) admet pour solutions tous les nombres strictement supérieurs à 2.

Dans le cas de la multiplication ou de la division des deux membres de l'inéquation par un même nombre strictement négatif non nul, le symbole de l'inégalité change de sens :

  • \(\displaystyle{\lt }\) devient \(\displaystyle{\gt}\), et inversement
  • \(\displaystyle{\leq}\) devient \(\displaystyle{\geq}\), et inversement

Considérons l'inégalité \(−2x\geq 10\).

En divisant chaque membre de l'inégalité par \(−2\), on obtient :

\(x\leq −5\)

Représentation graphique des solutions sur un axe

Cas 1

\(x\geq a\)

Soit \(a\) un nombre quelconque.

Les nombres solutions de l'inéquation \(x\geq a\) sont ceux en rouge sur la droite ci-dessous :

-
Cas 2

\(x>a\)

Soit \(a\) un nombre quelconque.

Les nombres solutions de l'inéquation \(x > a\) sont ceux en rouge sur la droite ci-dessous :

-
Cas 3

\(\displaystyle{x \leq a}\)

Soit \(a\) un nombre quelconque.

Les nombres solutions de l'inéquation \(x\leq a\) sont ceux en rouge sur la droite ci-dessous :

-
Cas 4

\(\displaystyle{x \lt a}\)

Soit \(a\) un nombre quelconque.

Les nombres solutions de l'inéquation \(x < a\) sont ceux en rouge sur la droite ci-dessous :

-

Les nombres solutions de l'inéquation \(x < 3\) sont ceux en rouge sur la droite ci-dessous :

-