Les équations du premier degré à une inconnue
Solution d'une équation
Un nombre \(a\) est solution d'une équation à une inconnue \(x\) si en remplaçant \(x\) par \(a\), l'égalité de l'équation est vérifiée.
Équation de la forme \(\displaystyle{ax=b}\)
Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres connus, avec \(\displaystyle{a}\) différent de 0.
L'équation \(\displaystyle{ax = b}\), d'inconnue \(\displaystyle{x}\), admet une unique solution :
\(\displaystyle{x =\dfrac{b}{a}}\)
Produit de facteurs égal à zéro
Un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.
Considérons l'équation suivante : \(\displaystyle{\left(2x-1\right)\left(x+5\right)=0}\).
Ainsi, on a : \(\displaystyle{2x-1=0}\) ou \(\displaystyle{x+5=0}\).
C'est-à-dire : \(\displaystyle{x=\dfrac12}\) ou \(\displaystyle{x=-5}\).
Conclusion : les solutions de l'équation sont \(\displaystyle{\dfrac12}\) et −5.
Équation de la forme \(\displaystyle{x^2=a}\)
Soit \(\displaystyle{a}\) un nombre connu.
L'équation \(\displaystyle{x^{2} = a}\) , d'inconnue \(\displaystyle{x}\), admet :
- Deux solutions si \(\displaystyle{a \gt 0}\) : \(\displaystyle{\sqrt{a}}\) et \(\displaystyle{- \sqrt{a}}\)
- Une solution si \(\displaystyle{a = 0}\) : \(\displaystyle{0}\)
- Aucune solution si \(\displaystyle{a \lt 0}\)
Les inéquations du premier degré à une inconnue
Intervalle solution
Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres connus, avec \(\displaystyle{a\gt0}\).
Les inéquations du premier degré \(\displaystyle{ax \gt b}\), \(\displaystyle{ax \geq b}\), \(\displaystyle{ax \lt b}\), \(\displaystyle{ax \leq b}\), d'inconnue \(\displaystyle{x}\), admettent une infinité de solutions. On parle d'intervalle solution.
- L'équation \(ax>b\) admet pour solutions tous les nombres strictement supérieurs à \(\dfrac{b}{a}\).
- L'équation \(ax\geq b\) admet pour solutions tous les nombres supérieurs ou égaux à \(\dfrac{b}{a}\).
- L'équation \(ax<b\) admet pour solutions tous les nombres strictement inférieurs à \(\dfrac{b}{a}\).
- L'équation \(ax\leq b\) admet pour solutions tous les nombres inférieurs ou égaux à \(\dfrac{b}{a}\).
Dans le cas de la multiplication ou de la division des deux membres de l'inéquation par un même nombre strictement négatif non nul, le symbole de l'inégalité change de sens :
- \(\displaystyle{\lt }\) devient \(\displaystyle{\gt}\), et inversement
- \(\displaystyle{\leq}\) devient \(\displaystyle{\geq}\), et inversement
Représentation graphique des solutions sur un axe
