Equations et inéquationsFiche brevet

I

Les équations du premier degré à une inconnue

Solution d'une équation

Un nombre a est solution d'une équation à une inconnue x si en remplaçant x par a, l'égalité de l'équation est vérifiée.

Le nombre −5 est solution de l'équation 2x+3=−2+x, d'inconnue x.

En effet, pour x=−5, on obtient :

  • 2x+3=2\times (−5)+3=−10+3=−7
  • Et −2+x=−2+(−5)=−7

L'égalité 2x+3=−2+x est donc bien vérifiée lorsque l'on remplace x par −5.

Équation de la forme ax=b

Soient a et b deux nombres connus, avec a différent de 0.
L'équation ax = b, d'inconnue x, admet une unique solution :

x =\dfrac{b}{a}

L'équation 2x=3 admet pour unique solution le nombre x=\dfrac{3}{2}.

Cela signifie que pour x=\dfrac{3}{2}, on a 2x=3 et que \dfrac{3}{2} est le seul nombre x vérifiant 2x=3.

Produit de facteurs égal à zéro

Un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.

Considérons l'équation suivante : \left(2x-1\right)\left(x+5\right)=0.

Ainsi, on a : 2x-1=0 ou x+5=0.

C'est-à-dire : x=\dfrac12 ou x=-5.

Conclusion : les solutions de l'équation sont \dfrac12 et −5.

Équation de la forme x^2=a

Soit a un nombre connu.
L'équation x^{2} = a , d'inconnue x, admet :

  • Deux solutions si a \gt 0 : \sqrt{a} et - \sqrt{a}
  • Une solution si a = 0 : 0
  • Aucune solution si a \lt 0

Considérons l'équation (E) : x^2=16.

Cette équation est du type x^2=a avec a=16.

Comme a>0, l'équation (E) admet deux solutions :

  • x=\sqrt{16}=4
  • et x=-\sqrt{16}=−4
II

Les inéquations du premier degré à une inconnue

Intervalle solution

Soient a et b deux nombres connus, avec a\gt0.
Les inéquations du premier degré ax \gt b, ax \geq b, ax \lt b, ax \leq b, d'inconnue x, admettent une infinité de solutions. On parle d'intervalle solution.

  • L'équation ax>b admet pour solutions tous les nombres strictement supérieurs à \dfrac{b}{a}.
  • L'équation ax\geq b admet pour solutions tous les nombres supérieurs ou égaux à \dfrac{b}{a}.
  • L'équation ax<b admet pour solutions tous les nombres strictement inférieurs à \dfrac{b}{a}.
  • L'équation ax\leq b admet pour solutions tous les nombres inférieurs ou égaux à \dfrac{b}{a}.

L'inéquation 5x>10 admet pour solutions tous les nombres strictement supérieurs à 2.

Dans le cas de la multiplication ou de la division des deux membres de l'inéquation par un même nombre strictement négatif non nul, le symbole de l'inégalité change de sens :

  • \lt devient \gt, et inversement
  • \leq devient \geq, et inversement

Considérons l'inégalité −2x\geq 10.

En divisant chaque membre de l'inégalité par −2, on obtient :

x\leq −5

Représentation graphique des solutions sur un axe

Cas 1

x\geq a

Soit a un nombre quelconque.

Les nombres solutions de l'inéquation x\geq a sont ceux en rouge sur la droite ci-dessous :

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Cas 2

x>a

Soit a un nombre quelconque.

Les nombres solutions de l'inéquation x > a sont ceux en rouge sur la droite ci-dessous :

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Cas 3

x \leq a

Soit a un nombre quelconque.

Les nombres solutions de l'inéquation x\leq a sont ceux en rouge sur la droite ci-dessous :

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Cas 4

x \lt a

Soit a un nombre quelconque.

Les nombres solutions de l'inéquation x < a sont ceux en rouge sur la droite ci-dessous :

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Les nombres solutions de l'inéquation x < 3 sont ceux en rouge sur la droite ci-dessous :

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