Géométrie planeFiche brevet

I

Géométrie plane

A

Angles

Angles opposés par le sommet

Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.

-

Angles alternes-internes

  • Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une droite sécante, les angles alternes-internes sont de même mesure.
  • Réciproquement, si deux droites coupées par une droite sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors elles sont parallèles.
-

Angles correspondants

  • Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une droite sécante, les angles correspondants sont de même mesure.
  • Réciproquement, si deux droites sont coupées par une même droite et forment deux angles correspondants de même mesure, alors elles sont parallèles.
-
B

Triangles

Somme des mesures des angles d'un triangle

La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.

Dans le triangle EBC ci-dessous, on cherche à déterminer la mesure de l'angle \widehat{BEC}.

-

Comme la somme des mesures des angles du triangle EBC vaut 180°, on a :

\widehat{BEC}+\widehat{ECB}+\widehat{CBE}=180

\widehat{BEC}+75+30=180

\widehat{BEC}=180-(75+30)

\widehat{BEC}=75°

Théorème de Pythagore

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}

Le triangle ABC est rectangle en B et vérifie :

AB=5{,}2 cm et AC=6{,}8 cm.

-

Comme le triangle ABC est rectangle en B, on a, d'après le théorème de Pythagore :

AC^2=AB^2+BC^2

BC^2=AC^2-AB^2

BC^2=6{,}8^2−5{,}2^2

BC^2=19{,}2

BC\approx 4{,}38 cm

Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle ABC, l'égalité BC^2=AB^2+AC^2 est vérifiée alors le triangle ABC est rectangle en A et \left[ BC \right] est l'hypoténuse du triangle.

Le triangle EFG est tel que EF=4{,}5 cm, FG=6 cm et EG=7{,}5 cm.

Alors,

  • EF^2+FG^2=4{,}5^2+6^2=56{,}25
  • EG^2=7{,}5^2=56{,}25

Ainsi, EF^2+FG^2=EG^2.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F et [EG] est l'hypoténuse de ce triangle rectangle.

C

Parallélogrammes

Caractérisation d'un parallélogramme

Si un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) a :

Ses côtés opposés parallèles deux à deux

Alors, ce quadrilatère est un parallélogramme.
Ses côtés opposés deux à deux de même longueur
Deux côtés parallèles et de même longueur
Ses diagonales qui se coupent en leur milieu

Caractérisation d'un losange à partir d'un parallélogramme

Si un parallélogramme a :

Deux côtés consécutifs de même longueur

Alors, ce parallélogramme est un losange.
Ses diagonales qui sont perpendiculaires

Caractérisation d'un rectangle à partir d'un parallélogramme

Si un parallélogramme a :

Un de ses angles droit

Alors, ce parallélogramme est un rectangle.
Ses diagonales qui sont de même longueur
D

Périmètres et aires

-
II

Transformations du plan, agrandissement et réduction

A

Symétries

Symétrie axiale

Le point M' est le symétrique du point M par la symétrie orthogonale d'axe \Delta si la droite \Delta est la médiatrice du segment [MM'].

Le point S est le symétrique du point P par rapport à la droite \left( d \right).

-

Symétrie centrale

Le point M' est le symétrique du point M par la symétrie centrale de centre O si le point O est le milieu du segment [MM'].

Le point A' est le symétrique du point A par rapport au point O.

-

La symétrie centrale transforme :

  • Une droite en une droite parallèle à la première
  • Un segment en un segment parallèle au premier

Le segment [C'D'] est le symétrique du segment [CD] par rapport au point O.

On a donc \left(C'D'\right)//(CD).

Les symétries axiales et centrales conservent l'alignement, les longueurs, le parallélisme, les mesures d'angles et les aires.

Le segment [C'D'] est le symétrique du segment [CD] par rapport au point O.

On a donc C'D'=CD.

-
B

Autres transformations du plan

Rotation

  • Transformer une figure par rotation revient à la faire pivoter d'un angle donné autour d'un point, son centre. Le sens inverse des aiguilles d'une montre est appelé sens direct.
  • Dans le sens direct, le point A' est l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle \alpha : lorsque OA=OA', l'angle \widehat{AOA'} mesure \alpha ° et on tourne de A vers A' dans le sens direct.

Le point A' est l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle \alpha=70°.

-

Translation

Transformer une figure par translation revient la faire glisser d'une longueur donnée, le long d'une droite donnée et dans un sens donné.

Si la translation qui transforme A en B transforme aussi C en D, alors ABDC est un parallélogramme éventuellement aplati.

-

Les translations et les rotations conservent l'alignement, les longueurs, les mesures d'angle, le parallélisme et les aires

-

Homothétie

M' est l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport k
(k un nombre réel différent de 0) lorsque :

  • Si k est positif : M'\in [OM) ou si k est négatif : O \in [MM']
  • OM' = k OM si k est positif, OM' = – k OM si k est négatif
-

Par une homothétie de rapport k (k étant un nombre réel), l'image

  • D'une droite est une droite qui lui est parallèle.
  • D'un segment [MN] est un segment [M'N'] de longueur k MN (si k > 0) ou –k MN (si k < 0).

Le carré A'B'C'D' est l'image du carré ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport −0{,}5.

-

Si une figure \mathcal{F}' est l'image d'une figure \mathcal{F} par une homothétie de rapport k\neq 0, alors :

  • Si k<−1 ou k>1, \mathcal{F}' est un agrandissement de \mathcal{F} de rapport -k (si k<−1) ou k si k>1.
  • Si −1<k<1, \mathcal{F}' est une réduction de \mathcal{F} de rapport -k (si k<0) ou k si k>0.

Dans l'exemple précédent, le carré A'B'C'D' est une réduction du carré ABCD de rapport \dfrac{1}{2}.

C

Triangles et droites parallèles

Théorème de Thalès

Soit un triangle ABC et soient deux points M et N respectivement sur les droites (AB) et (MN).

Si (MN) et (BC) sont parallèles, alors :

\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}

-

Réciproque du théorème de Thalès

Soient cinq points A, B, C, M et N. Si,

  • M\in (AB)
  • N\in (AC)
  • A, M et B sont alignés dans le même ordre que A, N et C
  • \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC} ou \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC} ou \dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}

Alors, les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont parallèles.

On considère la configuration suivante dans laquelle :

  • H, M et A sont alignés
  • L, M et T sont alignés
  • HM=4 cm, MA=3, LM=6 cm et MT=8 cm

On a donc :

  • A\in (HM)
  • L\in (MT)
  • H, M et A sont alignés dans le même sens que L, M et T
  • \dfrac{ML}{MT}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4} et \dfrac{MA}{MH}=\dfrac{3}{4}=\dfrac{ML}{MT}

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \left( HT \right) et \left( LA \right) sont donc parallèles.

-

Proportionnalité des longueurs et des aires

Avec les mêmes notations que pour le théorème de Thalès, posons

k =\dfrac{AM}{AB}

Les relations suivantes sont alors vérifiées :

  • AM = k \times AB
  • AN = k \times AC
  • MN = k \times BC
  • \mathcal{A}ire\left(AMN\right) = k^{2} \times \mathcal{A}ire\left(ABC\right)
-

Avec les notations précédentes,

Si k \gt 1, le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC.
Si k \lt 1, le triangle AMN est une réduction du triangle ABC.

III

Trigonométrie

Trigonométrie dans un triangle rectangle

On considère un triangle ABC rectangle en A.

On note \alpha l'angle \widehat{ABC}.

Alors, on définit :

Cosinus Sinus Tangente
\cos(\alpha)=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \sin(\alpha)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \tan(\alpha)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}
\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC} \sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC} \tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{AB}
-

On peut se servir de la trigonométrie dans un triangle rectangle pour calculer des longueurs de côtés ou des valeurs approchées de mesures d'angles.

On considère le triangle suivant :

-

On a donc :

\sin\left(\widehat{SRD}\right)=\dfrac{SD}{RD}

\sin\left(\widehat{SRD}\right)=\dfrac{2{,}5}{6{,}5}

\sin\left(\widehat{SRD}\right)=\dfrac{5}{13}

En utilisant la touche \sin^{−1} (ou arcsin) de la calculatrice, on obtient :

\widehat{SRD}\approx 22{,}6°

Avec les notations de la définition précédente, on a :

Relations trigonométriques fondamentales
\cos^2\left(\alpha\right)+\sin^2\left(\alpha\right)=1

Pour tout angle aigu \alpha différent de 90° :

\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\sin\left(\alpha\right)}{\cos\left(\alpha\right)}

Attention, si la position de l'angle \alpha change, les côtés, adjacent et opposé, sont inversés.

-

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