Géométrie plane
Angles
Triangles
Somme des mesures des angles d'un triangle
La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.
Théorème de Pythagore
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}
Réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle ABC, l'égalité BC^2=AB^2+AC^2 est vérifiée alors le triangle ABC est rectangle en A et \left[ BC \right] est l'hypoténuse du triangle.
Le triangle EFG est tel que EF=4{,}5 cm, FG=6 cm et EG=7{,}5 cm.
Alors,
- EF^2+FG^2=4{,}5^2+6^2=56{,}25
- EG^2=7{,}5^2=56{,}25
Ainsi, EF^2+FG^2=EG^2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F et [EG] est l'hypoténuse de ce triangle rectangle.
Parallélogrammes
Caractérisation d'un parallélogramme
| Si un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) a : | Ses côtés opposés parallèles deux à deux | Alors, ce quadrilatère est un parallélogramme. |
| Ses côtés opposés deux à deux de même longueur | ||
| Deux côtés parallèles et de même longueur | ||
| Ses diagonales qui se coupent en leur milieu |
Caractérisation d'un losange à partir d'un parallélogramme
| Si un parallélogramme a : | Deux côtés consécutifs de même longueur | Alors, ce parallélogramme est un losange. |
| Ses diagonales qui sont perpendiculaires |
Caractérisation d'un rectangle à partir d'un parallélogramme
| Si un parallélogramme a : | Un de ses angles droit | Alors, ce parallélogramme est un rectangle. |
| Ses diagonales qui sont de même longueur |
Transformations du plan, agrandissement et réduction
Symétries
La symétrie centrale transforme :
- Une droite en une droite parallèle à la première
- Un segment en un segment parallèle au premier
Le segment [C'D'] est le symétrique du segment [CD] par rapport au point O.
On a donc \left(C'D'\right)//(CD).
Autres transformations du plan
Rotation
- Transformer une figure par rotation revient à la faire pivoter d'un angle donné autour d'un point, son centre. Le sens inverse des aiguilles d'une montre est appelé sens direct.
- Dans le sens direct, le point A' est l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle \alpha : lorsque OA=OA', l'angle \widehat{AOA'} mesure \alpha ° et on tourne de A vers A' dans le sens direct.
Translation
Transformer une figure par translation revient la faire glisser d'une longueur donnée, le long d'une droite donnée et dans un sens donné.
Par une homothétie de rapport k (k étant un nombre réel), l'image
- D'une droite est une droite qui lui est parallèle.
- D'un segment [MN] est un segment [M'N'] de longueur k MN (si k > 0) ou –k MN (si k < 0).
Si une figure \mathcal{F}' est l'image d'une figure \mathcal{F} par une homothétie de rapport k\neq 0, alors :
- Si k<−1 ou k>1, \mathcal{F}' est un agrandissement de \mathcal{F} de rapport -k (si k<−1) ou k si k>1.
- Si −1<k<1, \mathcal{F}' est une réduction de \mathcal{F} de rapport -k (si k<0) ou k si k>0.
Dans l'exemple précédent, le carré A'B'C'D' est une réduction du carré ABCD de rapport \dfrac{1}{2}.
Triangles et droites parallèles
Réciproque du théorème de Thalès
Soient cinq points A, B, C, M et N. Si,
- M\in (AB)
- N\in (AC)
- A, M et B sont alignés dans le même ordre que A, N et C
- \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC} ou \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC} ou \dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
Alors, les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont parallèles.
On considère la configuration suivante dans laquelle :
- H, M et A sont alignés
- L, M et T sont alignés
- HM=4 cm, MA=3, LM=6 cm et MT=8 cm
On a donc :
- A\in (HM)
- L\in (MT)
- H, M et A sont alignés dans le même sens que L, M et T
- \dfrac{ML}{MT}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4} et \dfrac{MA}{MH}=\dfrac{3}{4}=\dfrac{ML}{MT}
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \left( HT \right) et \left( LA \right) sont donc parallèles.
Proportionnalité des longueurs et des aires
Avec les mêmes notations que pour le théorème de Thalès, posons
k =\dfrac{AM}{AB}
Les relations suivantes sont alors vérifiées :
- AM = k \times AB
- AN = k \times AC
- MN = k \times BC
- \mathcal{A}ire\left(AMN\right) = k^{2} \times \mathcal{A}ire\left(ABC\right)
Avec les notations précédentes,
Si k \gt 1, le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC.
Si k \lt 1, le triangle AMN est une réduction du triangle ABC.
Trigonométrie
Trigonométrie dans un triangle rectangle
On considère un triangle ABC rectangle en A.
On note \alpha l'angle \widehat{ABC}.
Alors, on définit :
| Cosinus | Sinus | Tangente |
| \cos(\alpha)=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} | \sin(\alpha)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} | \tan(\alpha)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} |
| \cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC} | \sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC} | \tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{AB} |
On peut se servir de la trigonométrie dans un triangle rectangle pour calculer des longueurs de côtés ou des valeurs approchées de mesures d'angles.
Avec les notations de la définition précédente, on a :
| Relations trigonométriques fondamentales |
| \cos^2\left(\alpha\right)+\sin^2\left(\alpha\right)=1 |
| Pour tout angle aigu \alpha différent de 90° : \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\sin\left(\alpha\right)}{\cos\left(\alpha\right)} |
