Nombres et calcul Fiche brevet

I

Diviseurs et multiples d'un entier

A

Diviseurs

Diviseur

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux entiers.
Si le nombre \(\displaystyle{b}\) est un diviseur de \(\displaystyle{a}\), cela signifie que \(\displaystyle{a}\) est divisible par \(\displaystyle{b}\), c'est-à-dire que le reste de la division euclidienne de \(\displaystyle{a}\) par \(\displaystyle{b}\) est nul.

3 divise 6 car \(6=3\times 2+0\).

Le reste de la division euclidienne de 6 par 3 est donc 0.

Nombre premier

Un nombre premier est un nombre entier naturel différent de 1 qui n'est divisible que par 1 et lui-même.

Le nombre 7 est un nombre premier.

En effet, les seuls diviseurs entiers naturels de 7 sont 1 et 7.

Décomposition en produit de facteurs premiers

Tout nombre entier naturel \(n\) peut s'écrire de manière unique comme un produit de facteurs premiers. On appelle cette écriture la décomposition en facteurs premiers du nombre \(n\).

\(2^3\times 5\times 7^2\) est la décomposition en facteurs premiers de 1960.

À l'ordre près des termes, elle est unique.

Diviseur commun

Soient \(\displaystyle{a}\), \(\displaystyle{b}\) et \(\displaystyle{d}\) trois entiers.
Le nombre \(\displaystyle{d}\) est un diviseur commun à \(\displaystyle{a}\) et à \(\displaystyle{b}\) s'il est un diviseur de \(\displaystyle{a}\) et de \(\displaystyle{b}\).

3 est diviseur commun à 6 et 15 car \(6=3\times 2\) et \(15=3\times 5\).

Soient \(a, b\) et \(d\) trois entiers.

  • Si \(\displaystyle{d}\) est un diviseur commun à \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\), alors \(\displaystyle{d}\) est un diviseur de \(\displaystyle{a - b}\) (ou \(\displaystyle{b - a}\) ).
  • Si \(\displaystyle{d}\) est un diviseur commun à \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) (avec \(\displaystyle{a \gt b}\) ), alors \(\displaystyle{d}\) est un diviseur du reste de la division euclidienne de \(\displaystyle{a}\) par \(\displaystyle{b}\).

Prenons \(a=15, b=6\) et \(d=3\).

Alors \(d\) est un diviseur commun à \(a\) et \(b\).

En effet, \(15=3\times 5\) et \(6=3\times 2\).

  • Par conséquent, \(d\) est un diviseur de \(a-b\).

En effet, 3 est bien un diviseur de \(15−6=9\), car \(9=3\times 3\).

  • De plus, \(d\) est un diviseur du reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\).

En effet, \(15=2\times 6+3\) avec \(0\leq 3<6\).

Le reste de la division euclidienne de 15 par 6 est donc 3 et 3 divise bien 3.

Plus grand diviseur commun

Le plus grand diviseur commun à \(a\) et \(b\) est noté \(\text{PGCD}(a;b)\).

Considérons les entiers \(a=18\) et \(b=12\).

La liste des diviseurs entiers naturels de \(a\) est \(\{1;2;3;6;9;18\}\).

La liste des diviseurs entiers naturels de \(b\) est \(\{1;2;3;4;6;12\}\).

Le plus grand commun diviseur de \(a\) et de \(b\) est donc 6.

On note \(\text{PGCD}(a;b)=\text{PGCD}(18;12)=6\).

Nombres premiers entre eux

Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.

Considérons les entiers \(a=35\) et \(b=12\).

La liste des diviseurs entiers naturels de \(a\) est \(\{1;5;7;35\}\).

La liste des diviseurs entiers naturels de \(b\) est \(\{1;2;3;4;6;12\}\).

Le plus grand commun diviseur de \(a\) et de \(b\) est donc 1.

Les nombres \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.

Fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.

D'après l'exemple précédent, les nombres 35 et 12 sont premiers entre eux.

La fraction \(\dfrac{35}{12}\) est donc irréductible.

B

Multiples

Multiple

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux entiers.
Si le nombre \(\displaystyle{a}\) est un multiple de \(\displaystyle{b}\), cela signifie que \(\displaystyle{b}\) est un diviseur de \(\displaystyle{a}\).

3 divise 6, donc 6 est un multiple de 3.

Multiple commun

Soient \(\displaystyle{a}\), \(\displaystyle{b}\) et \(\displaystyle{m}\) trois entiers.
Le nombre \(\displaystyle{m}\) est un multiple commun à \(\displaystyle{a}\) et à \(\displaystyle{b}\) s'il est divisible par \(\displaystyle{a}\) et par \(\displaystyle{b}\).

30 est un multiple commun à 3 et 15.

En effet :

\(30=3\times 10\), donc 30 est un multiple de 3.

\(30=15\times 2\), donc 30 est un multiple de 15.

Plus petit multiple commun

Le plus petit multiple commun non nul à \(a\) et \(b\) est noté \(\text{PPCM}(a;b)\).

La liste des multiples de 12 est \(\{12;24;36;48;60;...\}\).

La liste des multiples de 18 est \(\{18;36;54;72;90;...\}\).

Le plus petit multiple commun à 12 et 18 est donc 36.

On note \(\text{PPCM}(12;18)=36\).

II

Quotients, puissances et racines carrées

A

Quotients

Écriture fractionnaire

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres, avec \(\displaystyle{b}\) différent de 0.
L'écriture fractionnaire \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) représente le quotient de \(\displaystyle{a}\) par \(\displaystyle{b}\).

Soient \(a, b, c, d\) et \(k\) des nombres.

  • Si \(b\) et \(k\) sont non nuls, alors \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \times k}{b \times k}}\).
  • Si \(c\) est non nul, alors \(\displaystyle{\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a + b}{c}}\).
  • Si \(c\) est non nul, alors \(\displaystyle{\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a - b}{c}}\).
  • Si \(b\) et \(d\) sont non nuls, alors \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a \times c}{b \times d}}\).
  • Si \(b, c\) et \(d\) sont non nuls, alors \(\displaystyle{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}}\).
  • Produit en croix : si \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}}\), alors \(\displaystyle{ad = bc}\) si \(b\) et \(d\) sont non nuls.
  • \(\dfrac{3}{7}=\dfrac{3\times 5}{7\times 5}=\dfrac{15}{35}\)
  • \(\dfrac{3}{7}+\dfrac{5}{7}=\dfrac{3+5}{7}=\dfrac{8}{7}\)
  • \(\dfrac{3}{7}\times \dfrac{5}{7}=\dfrac{3\times 5}{7\times 7}=\dfrac{15}{49}\)
  • \(\dfrac{\dfrac{3}{7}}{\dfrac{5}{11}}=\dfrac{3}{7}\times \dfrac{11}{5}=\dfrac{3\times 11}{7\times 5}=\dfrac{33}{35}\)
  • \(\dfrac{3}{7}=\dfrac{15}{35}\), donc \(3\times 35=7\times 15\).

En effet, \(3\times 35=105=7\times 15\).

B

Puissances

Puissance

Soit \(\displaystyle{n}\) un entier positif non nul supérieur ou égal à 1.
On désigne par \(\displaystyle{a^{n}}\) la puissance \(\displaystyle{n}\) du nombre \(\displaystyle{a}\), telle que :

\(\displaystyle{a^n = \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n \text{ facteurs}}}\)

L'entier \(\displaystyle{n}\) est appelé l'exposant.

\(2^4=2\times 2\times 2\times 2=16\).

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres relatifs non nuls, \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{p}\) deux entiers relatifs :

  • \(\displaystyle{a^{n} \times a^{p} = a^{n+p}}\)
  • \(\displaystyle{\left(a^{n}\right)^{p} = a^{np}}\)
  • \(\displaystyle{\dfrac{1}{a^{n}}= a^{-n}}\)
  • \(\displaystyle{\dfrac{a^{n}}{a^{p}}= a^{n-p}}\)
  • \(\displaystyle{\left(ab\right)^{n} = a^{n} \times b^{n}}\)
  • \(\displaystyle{\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}}\)
  • \(\displaystyle{a^{1} = a}\)
  • Par convention : \(\displaystyle{a^{0} = 1}\)
  • \(2^3\times 2^4=2^{3+4}=2^7\)
  • \(\left(2^3\right)^4=2^{3\times 4}=2^{12}\)
  • \(\dfrac{1}{2^3}=2^{−3}\)
  • \(\dfrac{2^5}{2^2}=2^{5−2}=2^3\)
  • \((2\times 3)^4=2^4\times 3^4\)
  • \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^5=\dfrac{2^5}{3^5}\)
  • \(2^1=2\)
  • \(2^0=1\)
C

Racines carrées

Racine carrée

Soit \(\displaystyle{a}\) un nombre positif.
On désigne par \(\displaystyle{\sqrt{a}}\) la racine carrée de \(\displaystyle{a}\), qui est égale au nombre positif dont le carré est \(\displaystyle{a}\) :

\(\displaystyle{\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a}\)

  • \(\sqrt{81}=9\) car \(9\geq 0\) et \(9^2=81\)
  • \(\sqrt{1,21}=1,1\) car \(1,1\geq 0\) et \(1,1^2=1,21\)

Carré parfait

On appelle carré parfait tout nombre égal au carré d'un entier.

Le tableau suivant donne les premiers carrés parfaits, c'est-à-dire les premiers carrés d'entiers naturels :

-
III

Les différentes écritures d'un nombre

Écriture décimale Tout nombre dont la partie décimale est finie admet une écriture décimale.
Écriture fractionnaire Tout nombre dont la partie décimale est finie ou périodique (répétition infinie d'une séquence de décimales) admet une écriture fractionnaire.
Écriture scientifique

Tout nombre décimal non nul admet une écriture scientifique de la forme :

\(\displaystyle{a\times10^{p}}\)

Avec \(\displaystyle{p}\) entier relatif, et :

  • \(\displaystyle{1 \leq a \lt 10}\) si le nombre est positif.
  • \(\displaystyle{- 10 \lt a \leq -1}\) si le nombre est négatif.

12,34 admet pour écriture fractionnaire \(\dfrac{1\, 234}{100}\) (ou \(\dfrac{617}{50}\)).

L'écriture scientifique de 12,34 est \(1,234\times 10^1\).

IV

Règles de calcul générales

Priorité des opérations

En l'absence de parenthèses, on calcule une expression en traitant les opérations dans cet ordre de priorité :
1. Les puissances
2. Les multiplications et divisions
3. Les additions et soustractions

Si l'expression comporte des parenthèses, on procède en priorité aux calculs présents dans les parenthèses.

\(2\times 3^2−12\div 3\)

\(=2\times 9−12\div 3\)

\(=18−12\div 3\)

\(=18−4\)

\(=14\)

Opposé d'un nombre

Tout nombre \(\displaystyle{a}\) admet un opposé égal à : \(\displaystyle{- a}\).

L'opposé de \(7\) est \(−7\).

Inverse d'un nombre

Soit \(a\) un nombre non nul. L'inverse de \(a\) est le nombre qui, multiplié par \(a\), donne 1.

\(5\times 0,2=1\)

L'inverse de 5 est donc 0,2.

Tout nombre \(a\) différent de 0 admet un inverse ; on le note \(\dfrac{1}{a}\).

D'après l'exemple précédent, \(\dfrac{1}{5}=0,2\).

V

Calcul littéral

A

Sommes algébriques

Somme algébrique

Une somme algébrique est le résultat d'une succession d'additions et de soustractions.

\(−7+5−2+1−9+3\) est une somme algébrique.

L'ordre des termes d'une somme algébrique peut être modifié, sans modifier pour autant la valeur de la somme.

\(\displaystyle{a - b = a + \left(- b\right) = - b + a = + a - b}\)

\(−7+5−2+1−9+3=+5+1+3+(−7)+(−2)+(−9)=9+(−18)=−9\)

Réduction d'une somme algébrique

Réduire une somme algébrique revient à effectuer tous les calculs possibles afin d'obtenir une forme plus condensée, appelée forme réduite.

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres quelconques.

Réduisons la somme algébrique \(2a−3b+7a+4b-a\).

\(2a−3b+7a+4b-a=2a+7a-a−3b+4b=8a+b\).

B

Développement et factorisation

Développement

Soient \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) deux sommes algébriques.
Développer le produit \(\displaystyle{A \times B}\) revient à le mettre sous la forme d'une somme algébrique.

Soit \(x\) un nombre quelconque.

\(\displaystyle{\left(5+5x\right)\left(2-x\right)=5\times2-5x+5x\times2-5x\times x=10-5x+10x-5x^2=-5x^2+5x+10}\)

Soient \(a, b, c, d\) et \(k\) des nombres quelconques. Alors :

  • \(k(a+b)=ka+kb\)
  • \(k(a-b)=ka-kb\)
  • \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)

Ces trois formules sont des formules de développement.

Soient \(a, b, x\) et \(y\) des nombres quelconques.

  • \(3(a+b)=3a+3b\)
  • \(7(x-y)=7x−7y\)
  • \((5+5x)(2-x)=5\times 2−5x+5x\times 2−5x\times x=10−5x+10x−5x^2=−5x^2+5x+10\)

Factorisation

Factoriser une somme algébrique revient à la mettre sous la forme d'un produit de sommes algébriques.

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres. On souhaite factoriser la somme \(\displaystyle{S}\) suivante :

\(\displaystyle{S = 3a + ab}\)

Pour se faire, on identifie un facteur commun à chaque terme de la somme : \(\displaystyle{3{\color{Red}a} + {\color{Red}a}b}\).

On peut donc factoriser par \(\displaystyle{a}\) :

\(\displaystyle{S = a \left(3 + b\right)}\)

Soient \(a, b, \) et \(k\) des nombres quelconques. Alors :

  • \(ka+kb=k(a+b)\)
  • \(ka-kb=k(a-b)\)

Ces deux formules sont des formules de factorisation.

Soient \(a\) et \(x\) deux nombres quelconques.

  • \(15+5a=5(3+a)\)
  • \(70x−2x^2=x(70−2x)\)

Identités remarquables

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres.
On appelle identités remarquables les trois égalités suivantes :

\(\displaystyle{\left(a + b\right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}}\)

\(\displaystyle{\left(a - b\right)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}}\)

\(\displaystyle{\left(a + b\right) \left(a - b\right) = a^{2} - b^{2}}\)

Soit \(x\) un nombre quelconque.

  • \((2x+1)^2=(2x)^2+2\times 2x\times 1+1^2=4x^2+4x+1\)
  • \((2x−1)^2=(2x)^2−2\times 2x\times 1+1^2=4x^2−4x+1\)
  • \((2x+1)(2x−1)=(2x)^2−1^2=4x^2−1\)