Le vocabulaire des séries statistiques
Population et caractère
Caractère qualitatif ou quantitatif
Effectif et fréquence
On regroupe en général une série statistique par valeurs identiques au sein d'un tableau, qui précise l'effectif de chaque valeur, c'est-à-dire le nombre d'individus présentant chaque valeur. Pour chaque valeur, on peut alors calculer également la fréquence, égale au quotient de l'effectif de la valeur par l'effectif total.
Effectifs cumulés croissants
Séries statistiques regroupées en classes
Série statistique regroupée en classes
Les paramètres de position d'une série statistique
La moyenne
Le tableau d'effectifs suivant présente les notes obtenues par un groupe d'élèves :
| Notes | 5 | 8 | 9 | 10 | 10,5 | 11 | 13 | 14 | 14,5 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d'élèves | 1 | 3 | 5 | 6 | 2 | 5 | 6 | 1 | 2 | 1 |
On peut ainsi calculer facilement la moyenne pondérée :
\(\displaystyle{m = \dfrac{5 \times 1 + 8 \times 3 + 9 \times 5 + 10 \times 6 + 10,5 \times 2 + 11 \times 5 + 13 \times 6 + 14 \times 1 + 14,5 \times 2 + 16 \times 1}{32} \approx 10,8}\) (arrondie au dixième).
| Taille x (en cm) | \(\displaystyle{10 \leq x \lt 20}\) | \(\displaystyle{20 \leq x \lt 25}\) | \(\displaystyle{25 \leq x \lt 40}\) | \(\displaystyle{40 \leq x \leq 50}\) |
|---|---|---|---|---|
| Centre de la classe (cm) | 15 | 22,5 | 32,5 | 45 |
| Effectif | 11 | 8 | 16 | 3 |
La moyenne des tailles est donc :
\(\displaystyle{m\approx \dfrac{15\times11+22,5\times8+32,5\times16+45\times3}{11+8+16+3}\approx26,3}\) cm (arrondie au dixième).
Les médianes
Médiane
On appelle médiane d'une série rangée par ordre croissant toute valeur d'une série qui la partage en deux séries de même effectif.
Si on considère une série dont les valeurs des \(\displaystyle{n}\) individus sont rangées par ordre croissant.
- Si \(\displaystyle{n}\) est impair, on choisit souvent comme médiane la \(\displaystyle{\dfrac{n+1}{2}^{\text{ème}}}\) valeur de la série ordonnée.
- Si \(\displaystyle{n}\) est pair, on choisit souvent comme médiane la valeur centrale entre la \(\displaystyle{\dfrac{n}{2}^{\text{ème}}}\) valeur et la \(\displaystyle{\dfrac{n}{2}+ 1 ^{\text{ème}}}\) valeur.
Reprenons l'exemple des pointures des 24 élèves :
| Pointures | 37 | 38 | 39 | 40 | TOTAL |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectifs | 6 | 5 | 6 | 7 | 24 |
| Effectifs cumulés croissants | 6 | 11 | 17 | 24 |
L'effectif total, \(n=24\), est pair.
Ainsi \(\dfrac{n}{2}=12\).
On choisit comme médiane la valeur centrale entre la 12e et la 13e valeur.
La ligne des effectifs cumulés croissants nous indique que :
- La 12e valeur est 39.
- La 13e valeur est également 39.
On choisit donc comme médiane 39.
On donne les tailles de 100 élèves d'un internat :
| Tailles | [150;160[ | [160;170[ | [170;180[ | [180;190[ | [190;200[ |
| Effectifs | 30 | 28 | 19 | 20 | 3 |
| Fréquences (en %) | 30 | 28 | 19 | 20 | 3 |
| Fréquences cumulées croissantes (en %) | 30 | 58 | 77 | 97 | 100 |
Déterminons une médiane de la série des tailles.
Pour cela, on va tracer le graphique des fréquences cumulées croissantes et on lira la taille correspondant à la fréquence cumulée croissante de 50 %.
Voici le graphique :
