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Dernière modification : 04/06/2026 - Conforme au programme 2025-2026
Le théorème de Thalès
Soient (MB) et (NC) deux droites sécantes en un point A.
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
Dans les deux configurations représentées sur les schémas suivants, on a :
- M\in (AB) et N\in (AC) ;
- (MN) et (BC) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, dans ces deux configurations on a :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
Ce théorème permet de calculer une longueur dans l'une de ces configurations, si l'on connaît les autres.
On considère un triangle ABC et deux points M et N tels que :
- M\in [AB] et N\in [AC] ;
- (MN) et (BC) sont parallèles.
On se propose de déterminer la longueur AB de la figure précédente.
On sait que :
- ABC est un triangle avec M\in\left[ AB \right] et N\in\left[ AC \right].
- Les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on obtient :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
D'où :
\dfrac{3{,}3}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2{,}5}{3{,}5}
On en déduit que :
\dfrac{3{,}3}{AB}=\dfrac{2{,}5}{3{,}5}
Puis avec le produit en croix, on calcule :
AB= \dfrac{3{,}3\times3{,}5}{2{,}5}=4{,}62\ \text{cm}
Réciproque du théorème de Thalès
Soient (MB) et (NC) deux droites sécantes en un point A.
Si :
- les quotients \dfrac{AM}{AB} et \dfrac{AN}{AC} sont égaux ;
- les points A, M, B et A, N, C sont dans le même ordre.
Alors les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont parallèles.
On veut démontrer que les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont parallèles.
Les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A.
Les points B, A, M et C, A, N sont alignés dans cet ordre.
De plus, on a :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{2{,}4}=\dfrac56
Et :
\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2{,}5}{3}=\dfrac56
Donc :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont donc parallèles.
La contraposée du théorème de Thalès permet également de montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
On cherche à montrer que dans la configuration ci-dessus, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A.
Les points M, A et B sont dans le même ordre que les points N, A et C.
On a donc :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{4}{3{,}5}=\dfrac{16}{14}
\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{4{,}2}{4}=\dfrac{14{,}7}{14}
\dfrac{AM}{AB}\neq \dfrac{AN}{AC}
Si les droites (MN) et (BC) étaient parallèles, alors, d'après le théorème de Thalès, on aurait :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}
Or :
\dfrac{AM}{AB}\neq \dfrac{AN}{AC}
Les droites (MN) et (BC) ne sont donc pas parallèles.