On considère les deux programmes de calcul suivants :
| Programme A | Programme B |
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On choisit comme nombre de départ le nombre -4.
Quel est le résultat pour chacun des programmes A et B, et que remarque-t-on ?
Si l'on choisit le nombre de départ -4, pour le programme A on obtient :
\left(-4+1\right)^2 -\left(-4\right)^2 = \left(-3\right)^2 - \left(-4\right)^2 = 9 - 16 = -7
Pour le programme B, on obtient :
1 + 2\left(-4\right) = 1 - 8 = -7
Les résultats obtenus pour le programme A et pour le programme B sont identiques, ils sont égaux à -7.
On choisit comme nombre de départ le nombre 3.
Quel est le résultat pour chacun des programmes A et B, et que remarque-t-on ?
Si l'on choisit le nombre de départ 3, pour le programme A, on obtient :
\left(3+1\right)^2-3^2=4^2-3^2=16-9=7
Pour le programme B, on obtient :
1+2\times 3=1+6=7
Les résultats obtenus pour le programme A et pour le programme B sont identiques, ils sont égaux à 7.
On choisit comme nombre de départ le nombre \dfrac{1}{2}.
Quel est le résultat pour chacun des programmes A et B, et que remarque-t-on ?
Si on choisit le nombre de départ \dfrac{1}{2}, pour le programme A, on obtient :
\left(\dfrac{1}{2}+1 \right)^2-\left( \dfrac{1}{2} \right)^2=\left( \dfrac{3}{2} \right)^2-\left( \dfrac{1}{2} \right)^2=\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{4}=2
Pour le programme B, on obtient :
1+2\times \dfrac{1}{2}=1+\dfrac{2}{2}=1+1=2
Les résultats obtenus pour le programme A et pour le programme B sont identiques, ils sont égaux à 2.
On considère le nombre de départ égal à x.
Quelles sont les écritures des programmes A et B en fonction de x ?
Le programme A en fonction de x est le suivant :
A = \left( x+1 \right)^2-x^2
Le programme B en fonction de x est le suivant :
B= 1+2x
On trouve A =\left( x+1 \right)^2-x^2 et B = 1+2x.
Que peut-on conclure ?
Si l'on développe l'expression A en fonction de x, on trouve :
A =\left( x+1 \right)^2-x^2=x^2+2x+1-x^2=2x+1
Si on la compare à l'expression B = 1+2x, on s'aperçoit que les expressions sont identiques.
On peut donc conclure que pour tout réel x, les résultats de A et B sont toujours égaux.