Si \lim\limits_{x \to +\infty}f\left(x\right)=+\infty et \lim\limits_{x \to +\infty}g\left(x\right)=2 que vaut \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} ?
Si \lim\limits_{x \to +\infty}f\left(x\right)=+\infty et \lim\limits_{x \to +\infty}g\left(x\right)=2 alors \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=+\infty.
Si \lim\limits_{x \to +\infty}f\left(x\right)=+\infty et \lim\limits_{x \to +\infty}g\left(x\right)=0^- que vaut \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} ?
Si \lim\limits_{x \to +\infty}f\left(x\right)=+\infty et \lim\limits_{x \to +\infty}g\left(x\right)=0^- alors \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=-\infty.
Quelles sont les quatre formes indéterminées ?
Les quatre formes indéterminées sont " +\infty-\infty " ; " 0\times \infty " ; " \dfrac{\infty}{\infty} " ; " \dfrac00 ".
Si \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = \beta et \lim\limits_{x \to \beta } f\left(x\right) = \gamma alors que vaut \lim\limits_{x \to \alpha } \left(f\circ g\right)\left(x\right) ?
Si \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = \beta et \lim\limits_{x \to \beta } f\left(x\right) = \gamma alors \lim\limits_{x \to \alpha } \left(f\circ g\right)\left(x\right) = \gamma.
Si \lim\limits_{x \to a}f\left(x\right)=+\infty et \forall x \in \mathbb{R}, g\left(x\right)\geq f\left(x\right) que vaut \lim\limits_{x \to a}g\left(x\right) ?
Si \lim\limits_{x \to a}f\left(x\right)=+\infty et \forall x \in \mathbb{R}, g\left(x\right)\geq f\left(x\right) alors \lim\limits_{x \to a}g\left(x\right)=+\infty.
À quelle condition la courbe C_f admet-elle une asymptote horizontale d'équation y=b en +\infty ?
La courbe C_f admet une asymptote horizontale d'équation y=b en +\infty si et seulement si \lim\limits_{x \to +\infty}f\left(x\right)=b.
Quelle interprétation graphique peut-on donner de la limite \lim\limits_{x \to 1^-}f\left(x\right)=+\infty ?
Si \lim\limits_{x \to 1^-}f\left(x\right)=+\infty alors la droite d'équation x=1 est une asymptote verticale à la courbe C_f.
Quelle équation est une équation de la tangente à C_f au point d'abscisse a ?
Une équation de la tangente à C_f au point d'abscisse a est : y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Comment étudie-t-on la position relative de la courbe d'une fonction f et d'une de ses tangentes d'équation y=ax+b sur un intervalle I ?
On étudie la position relative de la courbe d'une fonction f et d'une de ses tangentes d'équation y=ax+b sur un intervalle I en étudiant le signe de f\left(x\right)-\left(ax+b\right) sur I.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Quelle est la dérivée de f=u\times v sur l'intervalle I ?
Si f=u\times v alors f est dérivable par produit de deux fonctions dérivables et on a f'=u'v+uv'.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I avec pour tout x\in I, v\left(x\right)\neq0. Quelle est la dérivée de f=\dfrac{u}{v} sur l'intervalle I ?
Si f=\dfrac{u}{v} alors f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Soient u une fonction dérivable sur I et n\in\mathbb{N}^{\star} . Quelle est la dérivée de f=u^n ?
Si f=u^n alors f'=nu'u^{n-1}.
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Quelle est la dérivée de f=\sqrt u sur l'intervalle I ?
Si f=\sqrt u alors f'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}.
Sur quel intervalle la fonction x\longmapsto \sqrt x est-elle dérivable ?
La fonction x\longmapsto \sqrt x est dérivable sur \left] 0;+\infty \right[.
Quelle est la fonction dérivée de la fonction x\longmapsto\dfrac1x sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[ ?
Sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[, la fonction dérivée de la fonction x\longmapsto\dfrac1x est x\longmapsto -\dfrac{1}{x^2}.
À quelle condition sur f' la fonction f est-elle croissante sur un intervalle I ?
f est croissante sur l'intervalle I lorsque f' est positive sur l'intervalle I.
À quelle condition graphique peut-on dire qu'une fonction est continue ?
Une fonction est continue si on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon.
À quelle condition une fonction est-elle continue en un réel a ?
Une fonction est continue en un réel a si et seulement si : \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right).
À quoi sert le théorème des valeurs intermédiaires ?
Le théorème des valeurs intermédiaires sert à prouver l'existence ou la non-existence de solutions à l'équation f\left(x\right)=k avec k appartenant à R.
Si on applique le théorème des valeurs intermédiaires à une fonction strictement monotone sur I à valeurs dans J, que peut-on dire de l'équation f\left(x\right)=k, avec k\in J ?
Si on applique le théorème des valeurs intermédiaires à une fonction strictement monotone sur I à valeurs dans J, on peut affirmer que l'équation f\left(x\right)=k admet une solution unique dans I.
Quel est le signe de la fonction exponentielle e^x ?
Pour tout réel x : e^{x} \gt 0.
À quoi est équivalente l'égalité e^x=e^y où x et y sont des réels quelconques ?
Pour tout x et y quelconques, l'égalité e^x=e^y est équivalente à x=y.
Que vaut \dfrac{e^x}{e^{y}} où x et y sont des réels quelconques ?
Pour tout x et y quelconques \dfrac{e^x}{e^{y}}=e^{x-y}
Que vaut \lim\limits_{x \to -\infty}e^x ?
\lim\limits_{x \to -\infty}e^x=0
Que vaut \lim\limits_{x \to -\infty } x e^{x} ?
\lim\limits_{x \to -\infty } x e^{x} = 0
Que vaut \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x} ?
\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Quelle est la dérivée de la fonction composée e^{u} ?
La fonction composée e^{u} est dérivable sur I, et pour tout réel x de I : \left(e^{u}\right)'\left(x\right) = u'\left(x\right) e^{u\left(x\right)}.
Quel est l'ensemble de définition de la fonction \ln ?
L'ensemble de définition de la fonction \ln est \mathbb{R}_{+}^{*}.
Soient x et y deux réels strictement positifs. Que vaut \ln \left(\dfrac{x}{y}\right) ?
\ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)
Que vaut \lim\limits_{\stackrel{x \to 0}{x \gt 0}} \ln\left(x\right) ?
\lim\limits_{\stackrel{x \to 0}{x \gt 0}} \ln\left(x\right) = - \infty
Que vaut la limite \lim\limits_{x \to 0^{+}} x \ln\left(x\right) ?
\lim\limits_{x \to 0^{+}} x \ln\left(x\right) = 0
Quelle est la dérivée de la fonction x\longmapsto \ln x sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[ ?
La dérivée sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[ de la fonction x\longmapsto \ln x est la fonction x\longmapsto \dfrac1x.
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Quelle est la dérivée de la fonction composée \ln\left(u\right) ?
La fonction composée \ln\left(u\right) est dérivable sur I, et pour tout réel x de I : \left(\ln\left(u\right)\right)'\left(x\right) =\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}.
Que vaut \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin\left(x\right)}{x} ?
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin\left(x\right)}{x}=1
Soit x un réel quelconque.
Que vaut \sin\left(2x\right) ?
\forall x\in\mathbb{R}, \sin\left(2x\right)=2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)
Que vaut \cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{12}\right) ?
\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{12}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si la fonction F, dérivable sur I, est une primitive de f sur I, quelle relation peut-on écrire entre ces deux fonctions ?
Si la fonction F est une primitive de f sur I, alors on peut écrire que, \forall x \in I \text{ , } F'\left(x\right) = f\left(x\right).
Quelle est une des primitives sur \mathbb{R} de la fonction x\longmapsto x^n avec n un naturel entier ?
Une des primitives sur \mathbb{R} de la fonction x\longmapsto x^n est la fonction x\longmapsto \dfrac{ x^{n+1}}{n+1} avec n un naturel entier.
Quelle est une des primitives de la fonction x\longmapsto \dfrac{1}{\sqrt x} sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[ ?
Une des primitives, sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[, de la fonction x\longmapsto \dfrac{1}{\sqrt x} est la fonction x\longmapsto 2\sqrt x.
Quelle est une des primitives de la fonction x\longmapsto \dfrac{1}{x} sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[ ?
Une des primitives,sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[, de la fonction x\longmapsto \dfrac{1}{x} est la fonction x\longmapsto \ln\left(x\right).
Quelle est une des primitives, sur \mathbb{R}, de la fonction x\longmapsto \sin\left(x\right) ?
Une des primitives, sur \mathbb{R}, de la fonction x\longmapsto \sin\left(x\right) est la fonction x\longmapsto -\cos\left(x\right).
Soient a et b deux réels quelconques, avec a\neq 0. Quelle est une des primitives, sur \mathbb{R}, de la fonction x\longmapsto \cos\left(ax+b\right) ?
Une des primitives, sur \mathbb{R}, de la fonction x\longmapsto \cos\left(ax+b\right) est la fonction x\longmapsto \dfrac1a \sin\left(ax+b\right).
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et n un entier naturel strictement positif.
Quelle est une des primitives, sur I, de la fonction u'u^n ?
Une des primitives sur I de la fonction u'u^n est la fonction \dfrac{u^{n+1}}{n+1}.
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Quelle est une des primitives de la fonction u'e^{u} ?
Une des primitives, sur I, de la fonction u'e^{u} est la fonction e^{u}.
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Quelle est une des primitives de la fonction u'\sin\left(u\right) ?
Une des primitives, sur I, de la fonction u'\sin\left(u\right) est la fonction -\cos\left(u\right).
À quelle condition, l'aire A du domaine compris entre la courbe C_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b, vaut-elle \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx ?
L'aire A du domaine compris entre la courbe C_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b, vaut \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx lorsque \forall x\in\left[a;b\right],\text{ }f\left(x\right)\geq0.
Que vaut la valeur moyenne d'une fonction f continue sur \left[a;b\right] ?
La valeur moyenne de f sur \left[a;b\right] vaut \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a, b, et c trois réels quelconques de l'intervalle I.
D'après la relation de Chasles que vaut \int_{a}^{c} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{c}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx ?
D'après la relation de Chasles \int_{a}^{c} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{c}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I tels que a\leq b.
Si \forall x \in \left[a;b\right], f\left(x\right)\leq g\left(x\right), que peut-on en déduire pour \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx et \int_{a}^{b} g\left(x\right) \ \mathrm dx ?
Si \forall x \in \left[a;b\right], f\left(x\right)\leq g\left(x\right) alors \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \int_{a}^{b} g\left(x\right) \ \mathrm dx.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels quelconques de l'intervalle I.
Quelle est la relation entre \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx et F une primitive de f sur I ?
Si F est une primitive de f sur I, alors \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=F\left(b\right)-F\left(a\right).
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit a un réel quelconque de l'intervalle I.
Qu'est-ce qui caractérise la fonction x\longmapsto \int_{a}^{x} f\left(t\right) \ \mathrm dt définie sur I ?
La fonction x\longmapsto \int_{a}^{x} f\left(t\right) \ \mathrm dt est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a.