Soit f la fonction définie sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\ln\left(x\right).

Pour tout réel a strictement positif, on définit sur \left]0;+\infty\right[ la fonction g_a par g_a\left(x\right)=ax^2.

On note \mathscr{C} la courbe représentative de la fonction f et \Gamma_a celle de la fonction g_a dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes \mathscr{C} et \Gamma_a suivant les valeurs du réel strictement positif a.

On a construit ci-dessous les courbes \mathscr{C}, \Gamma_{0{,}05}, \Gamma_{0{,}1}, \Gamma_{0{,}19} et \Gamma_{0{,}4}.

Quelles sont les différentes courbes sur le graphique ?

On obtient de haut en bas :

\Gamma_{0{,}4}
\Gamma_{0{,}19}
\Gamma_{0{,}1}
\Gamma_{0{,}05}

Pour finir, la courbe qui s'annule au point d'abscisse 1 est la courbe \mathscr{C}

On obtient de haut en bas :

\Gamma_{0{,}1}
\Gamma_{0{,}19}
\Gamma_{0{,}4}
\Gamma_{0{,}05}

Pour finir, la courbe qui s'annule au point d'abscisse 1 est la courbe \mathscr{C}

On obtient de haut en bas :

\Gamma_{0{,}4}
\Gamma_{0{,}1}
\Gamma_{0{,}19}
\Gamma_{0{,}05}

Pour finir, la courbe qui s'annule au point d'abscisse 1 est la courbe \mathscr{C}

On obtient de haut en bas :

\Gamma_{0{,}4}
\Gamma_{0{,}19}
\Gamma_{0{,}05}
\Gamma_{0{,}1}

Pour finir, la courbe qui s'annule au point d'abscisse 1 est la courbe \mathscr{C}

Dans quelle proposition a-t-on correctement utilisé le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de \mathscr{C} et \Gamma_a selon les valeurs du réel a ?

Si on a, a \gt 0{,}19 alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} ne sont pas sécantes.
Si on a, a=0{,}19, alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} sont sécantes en un point.
Si on a, a\in\left]0;0{,}19\right[, alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} sont sécantes en deux points.

Si on a, a \gt 0{,}19 alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} ne sont pas sécantes.
Si on a, a=0{,}19, alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} sont sécantes en deux points.
Si on a, a\in\left]0;0{,}19\right[, alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} sont sécantes en deux points.

Si on a, a \gt 0{,}19 alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} sont sécantes en un point.
Si on a, a=0{,}19, alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} sont sécantes en deux points.
Si on a, a\in\left]0;0{,}19\right[, alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} sont sécantes en trois points.

Si on a, a \gt 0{,}19 alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} sont sécantes en un pont.
Si on a, a=0{,}19, alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} sont sécantes en deux points.
Si on a, a\in\left]0;0{,}19\right[, alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} sont sécantes en deux points.

Pour un réel a strictement positif, on considère la fonction h_a définie sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[ par h_a\left(x\right)=\ln\left(x\right)-ax^2.

Dans quelle proposition justifie-t-on correctement que x est l'abscisse d'un point M appartenant à l'intersection de \mathscr{C} et \Gamma_a si et seulement si h_a\left(x\right)=0 ?

Soit a \gt 0, on considère un point M\left(x;y\right).

On a :

M\in\Gamma_a\cap\mathscr{C}

\Leftrightarrow \ln\left(x\right)=ax^2

\Leftrightarrow \ln\left(x\right)-ax^2=0

\Leftrightarrow h_a\left(x\right)=0

On a donc montré : M\left(x;y\right)\in\Gamma_a\cap \mathscr{C} \Leftrightarrow h_a\left(x\right)=0.

Soit a \gt 0, on considère un point M\left(x;y\right).

On a :

M\in\Gamma_a\cap\mathscr{C}

\Leftrightarrow \ln\left(x\right)=ax^2

\Leftrightarrow \ln\left(x\right)+ax^2=0

\Leftrightarrow h_a\left(x\right)=0

On a donc montré : M\left(x;y\right)\in\Gamma_a\cap \mathscr{C} \Leftrightarrow h_a\left(x\right)=0.

Soit a \gt 0, on considère un point M\left(x;y\right).

On a :

M\in\Gamma_a\cap\mathscr{C}

\Leftrightarrow \ln\left(x\right)=ax^2

\Leftrightarrow \ln\left(x\right)-2ax=0

\Leftrightarrow h_a\left(x\right)=0

On a donc montré : M\left(x;y\right)\in\Gamma_a\cap \mathscr{C} \Leftrightarrow h_a\left(x\right)=0.

Soit a \gt 0, on considère un point M\left(x;y\right).

On a :

M\in\Gamma_a\cap\mathscr{C}

\Leftrightarrow \ln\left(x\right)=ax^2

\Leftrightarrow \ln\left(x\right)+2ax=0

\Leftrightarrow h_a\left(x\right)=0

On a donc montré : M\left(x;y\right)\in\Gamma_a\cap \mathscr{C} \Leftrightarrow h_a\left(x\right)=0.

On admet que la fonction h_a est dérivable sur \left]0;+\infty\right[, et on note h_a' la dérivée de h_a sur cet intervalle.

Le tableau de variations de la fonction h_a est donné ci-dessous.

Dans quelle proposition justifie-t-on correctement le signe de h_a'\left(x\right) pour x appartenant à \left]0;+\infty\right[ ?

On admet que h_a est dérivable sur \left]0;+\infty\right[ et on note h_a' sa dérivé.

Pour tout x\in\left]0;+\infty\right[, et pour tout a \gt 0, on a :

h'_a\left(x\right)=\cfrac{1}{x}-2ax=\cfrac{1-2ax^2}{x}

Or, x \gt 0 et a \gt 0, la signe de la dérivée dépend donc uniquement du numérateur.

On a donc :

1-2ax^2=0 \Leftrightarrow x^2=\cfrac{1}{2a}

\Leftrightarrow x=\cfrac{1}{\sqrt{2a}} \text{ ou } x=-\cfrac{1}{\sqrt{2a}}

Comme x \gt 0, on a donc :

\Leftrightarrow x=\cfrac{1}{\sqrt{2a}}

Comme 1-2ax^2 avec a>0, est un polynôme de degrés deux, son signe à l'intérieur de l'intervalle délimité par les racines est le signe contraire de −2a. Il est donc positif et négatif à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines.

Pour tout x\in\left]0;\cfrac{1}{2a}\right];\quad g'_a\left(x\right)\geq 0 et pour tout x \gt \cfrac{1}{\sqrt{2a}};\quad g'_a\left(x\right) \lt 0.

On admet que h_a est dérivable sur \left]0;+\infty\right[ et on note h_a' sa dérivé.

Pour tout x\in\left]0;+\infty\right[, et pour tout a \gt 0, on a :

h'_a\left(x\right)=\cfrac{1}{x}-2ax=\cfrac{1-2ax^2}{x}

Or, x \gt 0 et a \gt 0, la signe de la dérivée dépend donc uniquement du numérateur.

On a donc :

1-2ax^2=0 \Leftrightarrow x^2=\cfrac{1}{2a}

\Leftrightarrow x=\cfrac{1}{\sqrt{2a}} \text{ ou } x=-\cfrac{1}{\sqrt{2a}}

Comme x \gt 0, on a donc :

\Leftrightarrow x=\cfrac{1}{\sqrt{2a}}

Comme 1-2ax^2 avec a>0, est un polynôme de degrés deux, son signe à l'intérieur de l'intervalle délimité par les racines est le signe de −2a. Il est donc négatif et positif à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines.

Pour tout x\in\left]0;\cfrac{1}{2a}\right];\quad g'_a\left(x\right)\leqslant 0 et pour tout x \gt \cfrac{1}{\sqrt{2a}};\quad g'_a\left(x\right) \gt 0.

On admet que h_a est dérivable sur \left]0;+\infty\right[ et on note h_a' sa dérivé.

Pour tout x\in\left]0;+\infty\right[, et pour tout a \gt 0, on a :

h'_a\left(x\right)=\cfrac{1}{x}-2ax=\cfrac{1-2ax^2}{x}

Or, x \gt 0 et a \gt 0, la signe de la dérivée dépend donc uniquement du numérateur.

Or, on sait qu'un carré est toujours positif.

On a donc pour x\in\left]0;+\infty\right[ h'_a\left(x\right)\geqslant0

On admet que h_a est dérivable sur \left]0;+\infty\right[ et on note h_a' sa dérivé.

Pour tout x\in\left]0;+\infty\right[, et pour tout a \gt 0, on a :

h'_a\left(x\right)=\cfrac{1}{x}-2ax=\cfrac{1-2ax^2}{x}

Or, x \gt 0 et a \gt 0, la signe de la dérivée dépend donc uniquement du numérateur.

Or, on sait qu'un carré est toujours positif.

On a donc h'_a\left(x\right)\leqslant0

On a donc pour x\in\left]0;+\infty\right[ h'_a\left(x\right)\geqslant0

Rappeler la limite de \dfrac{\ln\left(x\right)}{x} en +\infty.

Dans quelle proposition en déduit-on la limite de la fonction h_a en +\infty ?

\lim\limits_{x \to +\infty} h_a\left(x\right)=-\infty

\lim\limits_{x \to +\infty} h_a\left(x\right)=+\infty

\lim\limits_{x \to +\infty} h_a\left(x\right)=0

\lim\limits_{x \to +\infty} h_a\left(x\right)=1

Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que a=0{,}1.

Dans quelle proposition justifie-t-on correctement que dans l'intervalle \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[, l'équation h_{0{,}1}\left(x\right)=0 admet une unique solution ?

On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle \left]\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}};+\infty\right[.

On pose a=0{,}1.

On a donc pour tout x \gt 0, h_{0{,}1}\left(x\right)=\ln\left(x\right)-0{,}1x^2.

D'après ce qui précède :

h_{0{,}1} est continue (car dérivable) sur \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[
h_{0{,}1} est strictement croissante sur \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[
\lim\limits_{x\to 0^+}h_{0{,}1}\left(x\right)=-\infty et h\left(\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right)=\dfrac{\ln\left(5\right)}{2}-0{,}5\approx 0{,}3 \gt 0, donc 0\in h_{0{,}1}\left(\left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[\right)

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation h_{0{,}1}\left(x\right)=0 admet une unique solution sur \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[.

On pose a=0{,}1.

On a donc pour tout x \gt 0, h_{0{,}1}\left(x\right)=\ln\left(x\right)-0{,}1x^2.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation h_{0{,}1}\left(x\right)=0 admet une unique solution sur \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[.

On pose a=0{,}1.

On a donc pour tout x \gt 0, h_{0{,}1}\left(x\right)=\ln\left(x\right)-x^2.

D'après ce qui précède :

h_{0{,}1} est continue (car dérivable) sur \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[
h_{0{,}1} est strictement décroissante sur \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[
\lim\limits_{x\to 0^+}h_{0{,}1}\left(x\right)=-\infty et h\left(\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right)=\dfrac{\ln\left(5\right)}{2}-0{,}5\approx 0{,}3 \gt 0, donc 0\in h_{0{,}1}\left(\left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[\right)

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation h_{0{,}1}\left(x\right)=0 admet une unique solution sur \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[.

On pose a=0{,}1.

On a donc pour tout x \gt 0, h_{0{,}1}\left(x\right)=\ln\left(x\right)-x^2.

D'après ce qui précède :

h_{0{,}1} est continue (car dérivable) sur \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[
h_{0{,}1} est strictement croissante sur \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[
\lim\limits_{x\to 0^+}h_{0{,}1}\left(x\right)=-\infty et h\left(\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right)=\dfrac{\ln\left(5\right)}{2}-0{,}5\approx 0{,}3 \gt 0, donc 0\in h_{0{,}1}\left(\left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[\right)

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation h_{0{,}1}\left(x\right)=0 admet une unique solution sur \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[.

Quel est le nombre de points d'intersection de \mathscr{C} et de \Gamma_{0{,}1} ?

Les courbes \mathscr{C} et \Gamma_{0{,}1} ont deux points d'intersection.

Les courbes \mathscr{C} et \Gamma_{0{,}1} ont trois points d'intersection.

Les courbes \mathscr{C} et \Gamma_{0{,}1} ont un point d'intersection.

Les courbes \mathscr{C} et \Gamma_{0{,}1} n'admettent pas de points d'intersection.

Dans cette question, et uniquement dans cette question, on suppose que a=\dfrac{1}{2e}.

Quelle est la valeur du maximum de h_{\frac{1}{2e}} ?

Le maximum de la fonction h_{\frac{1}{2e}} est nul.

Le maximum de la fonction h_{\frac{1}{2e}} est \dfrac{1}{2}.

Le maximum de la fonction h_{\frac{1}{2e}} est \dfrac{1}{2e}.

Le maximum de la fonction h_{\frac{1}{2e}} est 0,01.

Dans quelle proposition en déduit-on le nombre de points d'intersection des courbes \mathscr{C} et \Gamma_{\frac{1}{2e}} ?

Les courbes \mathscr{C} et \Gamma_{\frac{1}{2e}} ont un seul point d'intersection .

Les courbes \mathscr{C} et \Gamma_{\frac{1}{2e}} ont deux points d'intersection.

Les courbes \mathscr{C} et \Gamma_{\frac{1}{2e}} ont trois points d'intersection.

Les courbes \mathscr{C} et \Gamma_{\frac{1}{2e}} ont quatre points d'intersection.

Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles \mathscr{C} et \Gamma_a n'ont aucun point d'intersection ?

Pour que les courbes \mathscr{C} et \Gamma_a n'aient pas de point d'intersection, il faut que h_a\left(x\right) \lt 0.

Autrement dit :

h_a\left(x\right) \lt 0

\Leftrightarrow \cfrac{-1-\ln\left(2a\right)}{2} \lt 0

\Leftrightarrow-1-\ln\left(2a\right)\lt 0

\Leftrightarrow \ln\left(2a\right) \gt- 1

\Leftrightarrow e^{\ln\left(2a\right) }\gt e^{- 1} \qquad\text{Par stricte croissance de la fonction exponentielle}

\Leftrightarrow 2a\gt e^{- 1}

\Leftrightarrow a\gt \cfrac{e^{- 1}}{2}

Si a \gt \cfrac{1}{2e}, les courbes \mathscr{C} et \Gamma_a n'ont pas de point d'intersection.

Pour que les courbes \mathscr{C} et \Gamma_a n'aient pas de point d'intersection, il faut que h_a\left(x\right) \lt 0.

Autrement dit :

h_a\left(x\right) \lt 0

\Leftrightarrow \cfrac{-1-\ln\left(2a\right)}{2} \lt 0

\Leftrightarrow-1-\ln\left(2a\right)\lt 0

\Leftrightarrow \ln\left(2a\right) \gt- 1

\Leftrightarrow e^{\ln\left(2a\right) }\gt e^{- 1} \qquad\text{Par stricte croissance de la fonction exponentielle}

\Leftrightarrow 2a\gt e^{- 1}

\Leftrightarrow a\gt - \cfrac{e^{- 1}}{2}

Si a \gt - \cfrac{1}{2e}, les courbes \mathscr{C} et \Gamma_a n'ont pas de point d'intersection.

Pour que les courbes \mathscr{C} et \Gamma_a n'aient pas de point d'intersection, il faut que h_a\left(x\right) \gt 0.

Autrement dit :

h_a\left(x\right) \gt 0

\Leftrightarrow \cfrac{-1-\ln\left(2a\right)}{2} \gt 0

\Leftrightarrow-1-\ln\left(2a\right)\gt 0

\Leftrightarrow \ln\left(2a\right)\lt - 1

\Leftrightarrow e^{\ln\left(2a\right) } \lt e^{- 1} \qquad\text{Par stricte croissance de la fonction exponentielle}

\Leftrightarrow 2a\lt e^{- 1}

\Leftrightarrow a\lt \cfrac{e^{- 1}}{2}

Si a \lt\cfrac{1}{2e}, les courbes \mathscr{C} et \Gamma_a n'ont pas de point d'intersection.

Pour que les courbes \mathscr{C} et \Gamma_a n'aient pas de point d'intersection, il faut que h_a\left(x\right) \lt 0.

Autrement dit :

h_a\left(x\right) \lt 0

\Leftrightarrow \cfrac{-1-\ln\left(2a\right)}{2} \lt 0

\Leftrightarrow-1-\ln\left(2a\right)\lt 0

\Leftrightarrow \ln\left(2a\right) \gt- 1

\Leftrightarrow a\gt \dfrac{-1}{2}

Si a \gt \dfrac{-1}{2}, les courbes \mathscr{C} et \Gamma_a n'ont pas de point d'intersection.