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Les fonctions Fiche bac

I

Limites de fonctions

A

Limites et opérations

Limite d'une somme

On désigne par \(\displaystyle{\alpha }\) un réel, \(\displaystyle{+ \infty }\) ou \(\displaystyle{- \infty }\). On désigne par L et L' deux réels.
Les fonctions f, g et \(\displaystyle{f + g}\) sont définies au voisinage de \(\displaystyle{\alpha }\).

Limite de f en \(\displaystyle{\alpha }\) L L L \(\displaystyle{+ \infty }\) \(\displaystyle{ - \infty }\) \(\displaystyle{+ \infty }\)
Limite de g en \(\displaystyle{\alpha }\) L' \(\displaystyle{ + \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) \(\displaystyle{ + \infty }\) \(\displaystyle{ - \infty }\) \(\displaystyle{ - \infty }\)
Limite de \(\displaystyle{f + g}\) en \(\displaystyle{\alpha }\) \(\displaystyle{L + L'}\) \(\displaystyle{ + \infty }\) \(\displaystyle{ - \infty }\) \(\displaystyle{ + \infty }\) \(\displaystyle{ - \infty }\) ?

Limite d'un produit

On désigne par \(\displaystyle{\alpha }\) un réel, \(\displaystyle{+ \infty }\) ou \(\displaystyle{- \infty }\). On désigne par L et L' deux réels.
Les fonctions f, g et \(\displaystyle{f \times g}\) sont définies au voisinage de \(\displaystyle{\alpha }\).

Limite de f en \(\displaystyle{\alpha }\) L \(\displaystyle{L \gt 0}\) \(\displaystyle{L \lt 0}\) \(\displaystyle{L \gt 0}\) \(\displaystyle{L \lt 0}\) \(\displaystyle{+ \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) \(\displaystyle{+ \infty }\) 0
Limite de g en \(\displaystyle{\alpha }\) L' \(\displaystyle{+ \infty }\) \(\displaystyle{+ \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) \(\displaystyle{+ \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) \(\displaystyle{\pm \infty }\)
Limite de \(\displaystyle{f \times g}\) en \(\displaystyle{\alpha }\) \(\displaystyle{L \times L'}\) \(\displaystyle{+ \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) \(\displaystyle{+ \infty }\) \(\displaystyle{+ \infty }\) \(\displaystyle{+ \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) ?

Limite d'un quotient

On désigne par \(\displaystyle{\alpha }\) un réel, \(\displaystyle{+ \infty }\) ou \(\displaystyle{- \infty }\). On désigne par L et L' deux réels.
Les fonctions f, g et \(\displaystyle{\dfrac{f}{g}}\) sont définies au voisinage de \(\displaystyle{\alpha }\).

Limite de f en \(\displaystyle{\alpha }\) L L \(\displaystyle{+ \infty }\) \(\displaystyle{+ \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) 0 \(\displaystyle{\pm \infty }\) \(\displaystyle{L \gt 0}\) ou \(\displaystyle{+ \infty }\) \(\displaystyle{L \lt 0}\) ou \(\displaystyle{- \infty }\)
Limite de g en \(\displaystyle{\alpha }\) \(\displaystyle{L' \neq 0}\) \(\displaystyle{\pm \infty }\) \(\displaystyle{L' \gt 0}\) \(\displaystyle{L' \lt 0}\) \(\displaystyle{L' \gt 0}\) \(\displaystyle{L' \lt 0}\) 0 \(\displaystyle{\pm \infty }\) \(\displaystyle{0^{+}}\) \(\displaystyle{0^{-}}\) \(\displaystyle{0^{+}}\) \(\displaystyle{0^{-}}\)
Limite de \(\displaystyle{\dfrac{f}{g}}\) en \(\displaystyle{\alpha }\) \(\displaystyle{\dfrac{L}{L'}}\) 0 \(\displaystyle{+ \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) \(\displaystyle{+ \infty }\) ? ? \(\displaystyle{+ \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) \(\displaystyle{- \infty }\) \(\displaystyle{+ \infty }\)

Il existe 4 formes indéterminées : " \(\displaystyle{\infty-\infty}\) " ; " \(\displaystyle{0\times \infty}\) " ; " \(\displaystyle{\dfrac{\infty}{\infty}}\) " ; " \(\displaystyle{\dfrac00}\) ".

Les formes indéterminées, sont les configurations pour lesquelles les règles opératoires sur les limites ne permettent pas de conclure. Il faut alors modifier l'expression pour en déterminer la limite.

Voici quelques techniques qui peuvent s'avérer utiles pour "lever une indétermination".

  • Lorsque \(f\) est une fonction polynôme, en cas d'indétermination, on peut déterminer sa limite en \(\displaystyle{\pm\infty}\) en factorisant l'expression par le terme de plus haut degré.
  • Lorsque \(f\) est une fonction rationnelle, en cas d'indétermination, on peut déterminer sa limite en \(\displaystyle{\pm\infty}\) en factorisant numérateur et dénominateur de l'expression par les termes de plus haut degré, puis en simplifiant le résultat obtenu.
  • Dans le cas d'une indétermination du type \(\displaystyle{\dfrac{0}{0}}\) pour la limite en un réel a, on peut parfois montrer que l'expression est du type \(\displaystyle{\dfrac{g\left(x\right)-g\left(a\right)}{x-a}}\) où \(g\) est une fonction dérivable de dérivée connue. Dans ce cas, la définition de \(\displaystyle{g'\left(a\right)}\) permet de conclure.

Limite d'une fonction composée

Soit f une fonction définie sur J, et g une fonction définie sur I à valeurs dans J.

La fonction \(\displaystyle{f\circ g}\) (se lit "f rond g") est la fonction définie sur I par \(\displaystyle{f\circ g\left(x\right)=f\left[g\left(x\right)\right]}\).

Si \(\displaystyle{\lim_{x \to \alpha } g\left(x\right) = \beta }\) et \(\displaystyle{\lim_{x \to \beta } f\left(x\right) = \gamma}\) alors \(\displaystyle{\lim_{x \to \alpha } f\circ g\left(x\right) = \gamma}\).

B

Limites et ordre

Théorème d'encadrement

Soient f, g et h trois fonctions telles que sur un voisinage de \(\displaystyle{\alpha }\), \(\displaystyle{f\left(x\right) \leq g\left(x\right) \leq h\left(x\right)}\).
Si \(\displaystyle{\lim_{x \to \alpha } f\left(x\right) = L}\) et \(\displaystyle{\lim_{x \to \alpha } h\left(x\right) = L}\) alors \(\displaystyle{\lim_{x \to \alpha } g\left(x\right) = L}\).

Théorème de comparaison (1)

Soient f et g deux fonctions telles que sur un voisinage de \(\displaystyle{\alpha }\), \(\displaystyle{f\left(x\right) \leq g\left(x\right)}\).
Si \(\displaystyle{\lim_{x \to \alpha } f\left(x\right) = L}\) et \(\displaystyle{\lim_{x \to \alpha } g\left(x\right) = L'}\) alors \(\displaystyle{L \leq L'}\).

Théorème de comparaison (2)

Soient f et g deux fonctions telles que sur un voisinage de \(\displaystyle{\alpha }\), \(\displaystyle{f\left(x\right) \leq g\left(x\right)}\) :

  • Si \(\displaystyle{\lim_{x \to \alpha } f\left(x\right) = + \infty }\), alors \(\displaystyle{\lim_{x \to \alpha } g\left(x\right) = + \infty }\).
  • Si \(\displaystyle{\lim_{x \to \alpha } g\left(x\right) = - \infty }\), alors \(\displaystyle{\lim_{x \to \alpha } f\left(x\right) = - \infty }\).
C

Asymptotes

Asymptote horizontale en \(\displaystyle{\pm\infty}\)

La droite d'équation \(\displaystyle{y = L}\) est asymptote horizontale à C en \(\displaystyle{+ \infty }\) (resp. en \(\displaystyle{-\infty}\) ) si et seulement si :

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty } f\left(x\right) = L}\) (resp. \(\displaystyle{\lim_{x\to -\infty} f\left(x\right)=L}\) )

-

Pour étudier la position relative entre la courbe d'une fonction f et une asymptote horizontale (à cette courbe) d'équation \(\displaystyle{y=L}\), on étudie le signe de \(\displaystyle{\left(f\left(x\right)-L\right)}\).

Asymptote verticale

La droite d'équation \(\displaystyle{x = a}\) est asymptote verticale à C si et seulement si :

\(\displaystyle{\lim_{x \to a^{-}} f\left(x\right) = \pm \infty }\)

ou \(\displaystyle{\lim_{x \to a^{+}} f\left(x\right) = \pm \infty }\)

-
II

Dérivation

Dérivées des fonctions usuelles

Soient un réel \(\displaystyle{\lambda}\) et un entier naturel n ; on désigne par \(\displaystyle{D_{f}}\) le domaine de définition de f et par \(\displaystyle{D_{f'}}\) son domaine de dérivabilité.

\(\displaystyle{f\left(x\right)}\) \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) \(\displaystyle{D_{f}}\) \(\displaystyle{D_{f'}}\)
\(\displaystyle{\lambda}\) \(\displaystyle{0}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
x \(\displaystyle{1}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x^{n} \left(n \geq 1\right)}\) \(\displaystyle{nx^{n-1}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{x^n}\left(n \geq 1\right)}\) \(\displaystyle{-\dfrac{n}{x^{n+1}}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\)
\(\displaystyle{\sqrt{x}}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+{\color{Red}*}}}\)

Dérivées et opérations

Soit un réel \(\displaystyle{\lambda}\), on désigne par \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\).

\(f\) \(\displaystyle{f'}\)
\(\displaystyle{\lambda u}\) \(\displaystyle{\lambda u'}\)
\(\displaystyle{u + v}\) \(\displaystyle{u' + v'}\)
\(\displaystyle{uv}\) \(\displaystyle{u'v + uv'}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{u}}\) (si \(u\) ne s'annule pas sur \(I\) ) \(\displaystyle{-\dfrac{u'}{u^2}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{u}{v}}\) (si \(\displaystyle{v}\) ne s'annule pas sur \(I\)) \(\displaystyle{\dfrac{u'v–uv'}{v^2}}\)

\(\displaystyle{u^{n} \left(n \geq 1\right)}\)

\(\displaystyle{nu'u^{n-1}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{u^n} \left(n\geq 1\text{, et }u\text{ ne s'annulant pas sur }I\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac{-n\times u'}{u^{n+1}}}\)

\(\displaystyle{\sqrt{u}}\) (soit \(\displaystyle{u\left(x\right)}\) \(\displaystyle{{\color{Red}\gt}}\) \(\displaystyle{0}\) pour tout \(x\) appartenant à \(I\), soit \(\displaystyle{u \gt 0}\) )

\(\displaystyle{\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}}\)

Dérivées et variations

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\), inclus dans son ensemble de définition.

  • Si \(\displaystyle{f' \gt 0}\) sur \(I\), sauf peut-être en un nombre fini de valeurs pour lesquelles \(f'\) s'annule, alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
  • Si \(\displaystyle{f' \lt 0}\) sur \(I\), sauf peut-être en un nombre fini de valeurs pour lesquelles \(f'\) s'annule, alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
  • Si \(f'\) est nulle sur \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).

La réciproque de chacune des assertions précédentes est vraie.

Soient \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et \(c\) un réel de \(I\).

  • Si \(\displaystyle{f\left(c\right)}\) est un extremum local, alors \(\displaystyle{f'\left(c\right)=0}\).
  • Si \(f'\) s'annule en \(c\) en changeant de signe, alors \(\displaystyle{f\left(c\right)}\) est un extremum local.

Équation de la tangente à la courbe d'une fonction en un point donné

Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un réel de I.

Alors la courbe de f admet une tangente au point d'abscisse a.

Cette tangente admet pour équation :

\(\displaystyle{y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)}\)

Après avoir déterminé l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction f en un point d'abscisse a, on demande souvent d'étudier la position relative entre courbe de f et sa tangente.

Si la tangente admet pour équation \(\displaystyle{y=\alpha x+\beta}\), avec \(\displaystyle{\alpha }\) et \(\displaystyle{\beta}\) réels, il s'agit alors d'étudier le signe de :

\(\displaystyle{f\left(x\right)-\left(\alpha x+\beta\right)}\)

III

Continuité

Fonction continue

Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon.

Une fonction f est continue en un réel a si et seulement si : \(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right)}\).

Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. Attention, la réciproque est fausse.

Théorème des valeurs intermédiaires

Soient f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle.
Alors, pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe au moins un réel c compris entre \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) tel que : \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).

-

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

  • Si f est continue sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) et si \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\) sont de signes opposés, alors f s'annule au moins une fois entre a et b.
  • Si f est continue et strictement monotone sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que : \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).

On demande souvent de déterminer un encadrement d'amplitude donné (ou une valeur approchée à une précision donnée) d'une solution d'une équation du type \(\displaystyle{f\left(x\right)=k}\).

  • On peut utiliser une méthode de balayage avec plusieurs tableaux de valeurs (de plus en plus précis) de la fonction f obtenus avec la calculatrice.
  • On peut également utiliser la méthode de dichotomie vue en classe.
IV

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) telle que \(\displaystyle{f'=f}\) et \(\displaystyle{f\left(0\right)=1}\).

On la note \(\displaystyle{exp}\) ou \(\displaystyle{x\mapsto \text{e}^x}\).

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Soient deux réels x et y, et un entier n.

  • \(\displaystyle{e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y}\)
  • \(\displaystyle{e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y}\)
  • \(\displaystyle{e^{x+y} = e^{x} e^{y}}\)
  • \(\displaystyle{e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}}\)
  • \(\displaystyle{e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^{y}}}\)
  • \(\displaystyle{\left(e^{x}\right)^{n} = e^{nx}}\)

Limites de la fonction exponentielle

\(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty } e^{x} = 0}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty } e^{x} = + \infty }\)

Limites : croissances comparées

\(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty } x e^{x} = 0}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty }\dfrac{e^x}{x}= + \infty }\)

Limite : taux d'accroissement en 0

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{x} - 1}{x}= 1}\)

Dérivées

La fonction exponentielle est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors \(\displaystyle{e^u=exp\circ u}\) est dérivable sur I.

Les dérivées sont données par :

Fonction Dérivée
\(\displaystyle{e^x}\) \(\displaystyle{e^x}\)
\(\displaystyle{e^{u}}\) \(\displaystyle{u'e^{u}}\)
V

Fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien

Pour tout réel \(\displaystyle{x \gt 0}\), il existe un unique réel y tel que \(\displaystyle{e^y=x}\).

Ce réel y est noté \(\displaystyle{\ln\left(x\right)}\) et on appelle fonction logarithme népérien la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\ln\left(x\right)}\).

  • Pour tout réel x : \(\displaystyle{\ln\left(e^{x}\right) = x}\).
  • Pour tout réel x strictement positif : \(\displaystyle{e^{\ln\left(x\right)} = x}\).

Propriétés algébriques de la fonction ln

Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n :

  • \(\displaystyle{\ln\left(xy\right) = \ln\left(x\right) + \ln\left(y\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)= - \ln\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln\left(x^{n}\right) = n \ln\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x\right)}\)

Limites de la fonction ln

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0^+} \ln\left(x\right) = - \infty }\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty } \ln\left(x\right) = + \infty }\)

Limites : croissances comparées

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty }\dfrac{\ln\left(x\right)}{x}= 0}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} x \ln\left(x\right) = 0}\)

Limite : taux d'accroissement en 1 et 0

\(\displaystyle{\lim_{x \to 1}\dfrac{\ln\left(x\right)}{x-1}= 1}\) et \(\displaystyle{\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln\left(1+x\right)}{x}=1}\)

Dérivées

La fonction logarithme népérien est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}_+^{\star}}\).

Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors \(\displaystyle{\ln\left(u\right)=\ln\circ u}\) est dérivable sur I.

Les dérivées sont données par :

Dérivées

Fonction Dérivée
\(\displaystyle{\ln\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac1x}\)
\(\displaystyle{\ln\left(u\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac{u'}{u}}\)

Logarithme décimal

La fonction logarithme décimal, notée \(\displaystyle{\log}\), est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\) par :

\(\displaystyle{\log\left(x\right) =\dfrac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(10\right)}}\)

VI

Fonctions trigonométriques

A

Parité et périodicité

Fonction paire

Soit \(f\) une fonction définie sur \(I\). Si :

  • \(I\) est symétrique par rapport à 0
  • Et pour tout \(\displaystyle{x\in I}\), \(\displaystyle{f\left(-x\right)=f\left(x\right)}\)

Alors la fonction \(f\) est paire.

La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.

-

Fonction impaire

Soit f une fonction définie sur I. Si :

  • I est symétrique par rapport à 0
  • Et pour tout \(\displaystyle{x\in I}\), \(\displaystyle{f\left(-x\right)=-f\left(x\right)}\)

Alors la fonction f est impaire.

La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

-

Fonction périodique

Soit f une fonction définie sur I. S'il existe un réel T strictement positif, tel que :

  • Pour tout \(\displaystyle{x\in I}\), \(\displaystyle{x+T\in I}\)
  • Et \(\displaystyle{f\left(x+T\right)=f\left(x\right)}\)

Alors la fonction f est périodique de période T. On dit aussi qu'elle est T-périodique.

-
B

Fonction sinus

Fonction sinus

La fonction sinus \(f\), définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), est égale à :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \sin\left(x\right)}\)

-
-
  • La fonction sinus est impaire.
  • La fonction sinus est \(\displaystyle{2\pi }\) -périodique.
  • La fonction sinus est toujours comprise entre −1 et 1.
  • La fonction sinus est dérivable et continue sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).
  • Pour tout réel x, \(\displaystyle{\sin'\left(x\right)=\cos\left(x\right)}\).

Taux d'accroissement et limite

En reconnaissant le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0 :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin\left(x\right)}{x} = \sin'\left(0\right) = \cos\left(0\right) = 1}\)

C

Fonction cosinus

Fonction cosinus

La fonction cosinus f, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), est égale à :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \cos\left(x\right)}\)

-
-
  • La fonction cosinus est paire.
  • La fonction cosinus est \(\displaystyle{2\pi }\) -périodique.
  • La fonction cosinus est toujours comprise entre −1 et 1.
  • La fonction cosinus est dérivable et continue sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).
  • Pour tout réel x, \(\displaystyle{\cos'\left(x\right)=-\sin\left(x\right)}\).
VII

Primitives

Primitives des fonctions usuelles

Soient un entier n, k un réel ; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.

\(\displaystyle{f\left(x\right)}\) \(\displaystyle{F\left(x\right)}\) I
k \(\displaystyle{kx}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x^{n}}\) \(\displaystyle{\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}\) si \(\displaystyle{n \geq 1 \text{ }:\text{ } \mathbb{R}}\)

si \(\displaystyle{n \leq - 2\text{ } : \text{ }\left]- \infty ; 0\right[}\) ou \(\displaystyle{\left]0 ; + \infty \right[}\)

\(\displaystyle{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\) \(\displaystyle{2\sqrt{x}}\) \(\displaystyle{\left]0 ; + \infty \right[}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{x}}\) \(\displaystyle{\ln\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\left]0 ; + \infty \right[}\)
\(\displaystyle{e^{x}}\) \(\displaystyle{e^{x}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\sin\left(x\right)}\) \(\displaystyle{- \cos\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\cos\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\sin\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\sin\left(ax+b\right)}\) \(\displaystyle{-\dfrac{1}{a}\cos\left(ax+b\right)}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), avec \(\displaystyle{a \neq 0}\)
\(\displaystyle{\cos\left(ax+b\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{a}\sin\left(ax+b\right)}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), avec \(\displaystyle{a \neq 0}\)

Opérations et primitives

Soit un entier n différent de 0 et −1. On désigne par u et v deux fonctions dérivables sur l'intervalle I ; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.

f F Conditions
\(\displaystyle{u'u^{n}}\) \(\displaystyle{\dfrac{u^{n+1}}{n + 1}}\) si \(\displaystyle{n \leq- 2 \text{ }:\text{ } u\left(x\right) \neq 0}\)
\(\displaystyle{\dfrac{u'}{u}}\) \(\displaystyle{\ln\left(u\right)}\) \(\displaystyle{u \gt 0}\)
\(\displaystyle{\dfrac{u'}{\sqrt{u}}}\) \(\displaystyle{2\sqrt{u}}\) \(\displaystyle{u \gt 0}\)
\(\displaystyle{u'e^{u}}\) \(\displaystyle{e^{u}}\)
\(\displaystyle{u'\sin\left(u\right)}\) \(\displaystyle{- \cos\left(u\right)}\)
\(\displaystyle{u'\cos\left(u\right)}\) \(\displaystyle{\sin\left(u\right)}\)
VIII

Intégrales

A

Aires et intégrales

Intégrale d'une fonction continue positive

Soient f une fonction continue et positive sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation \(\displaystyle{x = a}\) et \(\displaystyle{x = b}\).

-

Intégrale d'une fonction continue négative

Soient f une fonction continue et négative sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx }\) de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à l'opposé de l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation \(\displaystyle{x = a}\) et \(\displaystyle{x = b}\).

-

Intégrale d'une fonction continue

Soient f une fonction continue sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à la différence entre la somme des aires où f est positive et la somme des aires où f est négative.

-

Aire entre deux courbes

Soient f et g deux fonctions continues sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\). L'aire située entre les courbes de f et g sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b}\left| f\left(x\right)-g\left(x\right) \right| \ \mathrm dx}\)

Avec les notations précédentes, si sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[a;b\right]}\), on a \(\displaystyle{f\left(x\right)\leq g\left(x\right)}\), alors l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par les courbes des deux fonctions puis les droites d'équations \(\displaystyle{x=a}\) et \(\displaystyle{x=b}\) est égale à :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)\text{d}x}\)

B

Propriétés de l'intégrale

Valeur moyenne d'une fonction

On appelle valeur moyenne de f sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\) le réel :

\(\displaystyle{\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a, b et c trois réels de I, et k un réel quelconque.

  • \(\displaystyle{\int_{a}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx = 0}\)
  • \(\displaystyle{\int_{b}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx = - \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)
  • \(\displaystyle{\int_{a}^{b} kf\left(x\right) \ \mathrm dx = k \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)
  • Relation de Chasles : \(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx = \int_{a}^{c} f\left(x\right) \ \mathrm dx + \int_{c}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)
  • Linéarité : \(\displaystyle{\int_{a}^{b} \left(f\left(x\right) + g\left(x\right)\right) \ \mathrm dx = \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx + \int_{a}^{b} g\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que \(\displaystyle{a \leq b}\), m et M deux réels tels que \(\displaystyle{m \leq f \leq M}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\).

  • Positivité : si \(\displaystyle{f \geq 0}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \geq 0}\).
  • Comparaison : si \(\displaystyle{f \leq g}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \int_{a}^{b}g\left(x\right) \ \mathrm dx }\).
  • Inégalité de la moyenne : \(\displaystyle{m \left(b - a\right) \leq \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \leq M \left(b - a\right)}\).
C

Primitives et intégrales

Intégrale et primitive

Soient f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I, a et b deux réels de I :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(t\right) \ \mathrm dt = F\left(b\right) - F\left(a\right)}\)

Primitive qui s'annule en \(\displaystyle{a}\)

Soient f une fonction continue sur I, et a un réel de I.
La fonction F définie ci-après est l'unique primitive de f qui s'annule en a :

\(\displaystyle{F\left(x\right) =\int_{a}^{x}f\left(t\right) \ \mathrm dt}\)