Mesures et incertitudesCours

I

L'exploitation d'une série de mesures indépendantes 

Toute mesure expérimentale est entachée d'une erreur qui résulte d'un manque de justesse ou de fidélité de la mesure. Les valeurs d'une mesure sont exprimées avec un certain nombre de chiffres significatifs dépendant de la précision de la mesure. La représentation graphique d'une série de mesures se fait sur un histogramme. On résume une série de mesures à l'aide d'une moyenne et d'un écart-type.

A

Les erreurs de mesure 

Toute mesure expérimentale est entachée d'une erreur qui résulte d'un manque de justesse ou de fidélité de la mesure. 

Il n'existe pas de mesure exacte : toute mesure est entachée d'erreurs et ne conduit qu'à une valeur plus ou moins proche de la valeur « vraie » de la grandeur à mesurer.

On distingue deux types de sources d'erreur :

  • Les erreurs aléatoires sont dues à des fluctuations de la grandeur mesurée ou de la méthode de mesure et peuvent aussi dépendre de l'habileté de l'expérimentateur. Elles se traduisent par un étalement des mesures autour de la valeur vraie et entachent la fidélité de la mesure.
  • Les erreurs systématiques sont liées à un mauvais réglage de l'instrument de mesure ou à une mauvaise manipulation de l'expérimentateur. Ce type d'erreur affecte toujours le résultat de la mesure dans le même sens, les mesures se répartissant alors autour d'une autre valeur que la valeur vraie affectant la justesse de la mesure.
  • La mesure de la température d'un corps peut donner des erreurs aléatoires si elle n'est pas totalement uniforme.
  • L'utilisation d'une balance mal réglée donne une erreur systématique.
Types de sources d'erreur  Causes Se traduisent par... Quantifiées par...
Les erreurs aléatoires  Fluctuation de la grandeur mesurée
ou de la méthode de mesure
Un étalement des mesures autour de la valeur vraie La fidélité de la mesure 
Les erreurs systématiques Mauvais réglage de l'instrument de mesure ou mauvaise manipulation de l'expérimentateur Des mesures réparties autour d'une autre valeur que la valeur vraie La justesse de la mesure 

 

On peut illustrer la dispersion des mesures d'une grandeur avec ceux des impacts de tirs sur une cible, la valeur vraie étant supposée être au cœur de la cible :

les erreurs de mesure
B

Les chiffres significatifs

Toute valeur d'une mesure doit être exprimée avec un certain nombre de chiffres significatifs. Ce nombre dépendra de la précision avec laquelle la mesure a été effectuée.

Chiffres significatifs (cs)

Les chiffres significatifs (cs) d'une mesure sont ceux qui sont connus avec certitude, plus le premier chiffre incertain (celui qui a été impacté par l'arrondi). Tous les chiffres d'un nombre sont significatifs, sauf les zéros placés à gauche du premier chiffre non nul.

  • Si l'on demande d'écrire le nombre 10,2047 avec 5 chiffres significatifs, on l'arrondit au millième et on obtient 10,205. Le chiffre 5 de ce nombre est incertain car il résulte d'un arrondi.
  • Le nombre 0,0307 possède 3 chiffres significatifs (3, 0 et 7) car les deux zéros placés à gauche du 3 ne sont pas significatifs.

Le nombre de chiffres significatifs d'une mesure dépend de la précision avec laquelle la mesure a été réalisée. Il faut donc écrire le résultat d'une mesure avec un nombre de chiffres significatifs cohérent avec la précision de l'instrument utilisé.

En général, la plus petite graduation des règles que l'on utilise est le millimètre (mm). On dit qu'elles sont précises au millimètre près, c'est pourquoi il faut veiller à écrire la longueur mesurée avec le nombre de millimètres, même si celui-ci est égal à 0 :

  • 14,0 cm ou 14,1 cm sont des écritures correctes de longueurs que l'on peut mesurer, aussi précises l'une que l'autre ;
  • 14 cm est une écriture qui fait perdre la précision de la règle, le nombre de millimètres n'étant pas indiqué (ce qui est différent d'indiquer « 0 »).
  • Lors des conversions d'unités, il faut veiller à la conservation du nombre de chiffres significatifs.
  • Tous les chiffres sont significatifs dans les valeurs obtenues par comptage (nombres entiers).  

Chiffres significatifs et calcul

Opérations Règles  Exemples
Multiplication et division Le résultat doit avoir autant de chiffres
significatifs que la valeur qui en a le moins dans le calcul.
La multiplication des longueurs 14,7 cm (3 cs) et 18,05 cm (4 cs) donne :
14{,}7 \times 18{,}05 = 265{,}335 \text{ cm}^2
Mais le résultat doit avoir 3 cs, on l'arrondit alors à 265 cm2 :
14{,}7 \times 18{,}05 = 265 \text{ cm}^2
Addition et soustraction Le résultat doit avoir autant de décimales que la valeur qui en a le moins dans le calcul. L'addition des masses 11,03 g (2 décimales) et 7,6 g (1 décimale) donne :
11{,}08 + 7{,}6 = 18{,}68 \text{ g}
Mais le résultat doit avoir une décimale, on l'arrondit alors à 18,6 g :
11{,}03 + 7{,}6 = 18{,}7 \text{ g}
C

L'histogramme

On utilise l'histogramme pour représenter graphiquement la répartition des mesures. 

Histogramme

Lors d'une série de mesures d'une grandeur physique, l'histogramme est la représentation graphique de la fréquence de chaque valeur mesurée (nombre de fois où cette valeur a été mesurée), on parle aussi de répartition ou distribution.

Les mesures de la masse d'un corps ont donné les résultats suivants :

Masse mesurée m_{(g)} 106 107 108 109 110 111 112 113
Fréquence de cette mesure N 1 1 2 3 4 2 1 1

 

L'histogramme correspondant est le suivant :

Histogramme représentant la série de mesures 
Histogramme représentant la série de mesures 
D

La moyenne 

La moyenne permet de résumer un ensemble de mesures.

Moyenne

La moyenne est l'indicateur le plus simple pour résumer un ensemble de mesures car elle ne dépend que des valeurs mesurées et de leur nombre et pas de leur distribution. Généralement, la moyenne d'une grandeur x est notée x_m ou \overline{x}.

La moyenne de la précédente série de mesures de la masse peut être notée m_m ou \overline{m}.

Moyenne

La moyenne d'une série de mesures est égale à la somme de ces mesures x divisée par leur nombre n :

\overline{x} = \dfrac{\text{Somme des valeurs mesurées}}{\text{Nombre de mesures}}

Ce qui se note, à l'aide du symbole mathématique Σ qui signifie « somme » :

\overline{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}

La moyenne de la précédente série de mesures de la masse est :
\overline{m} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}m_i}{n}
\overline{m} = \dfrac{106+107 + 2\times111 + 3\times109 + 4\times110 + 2\times111 + 112 + 113}{15}
\overline{m} = 110\text{ g}

La moyenne d'une distribution n'est pas toujours le meilleur indicateur. Lorsque la distribution des mesures est très irrégulière, la médiane, qui est la valeur qui permet de partager la série en deux groupes de même effectif, est un indicateur plus adapté.

E

L'écart-type

L'écart-type permet de mesurer la dispersion des mesures d'une série autour de la valeur moyenne.

Écart-type

L'écart-type est une grandeur qui sert à mesurer la dispersion, ou l'étalement, de la série de mesures autour de la moyenne. Généralement, on le note σ (« sigma »).

Écart-type

L'écart-type d'une série de mesures se calcule à partir de la formule suivante (mais, le plus souvent, il est donné par le logiciel avec lequel on exploite la série de mesures) :

\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}{n-1}}

L'écart-type de la série de mesures précédente est : 

\sigma = \sqrt{\dfrac{(106-110)^2+(107-110)^2+\text{ ... }+(112-110)^2+(113-110)^2}{15-1}} = 1{,}85 \text{ g}

Plus une série de mesures est homogène, plus son écart-type est faible.

définition formule écart-type

Histogrammes de séries de mesures à différents degrés d'homogénéité 

II

Le résultat d'une série de mesures 

L'incertitude-type donne un regard critique sur une série de mesures. On définit avec elle des conventions d'écriture, elle permet d'établir un intervalle de confiance. L'écart relatif permet de comparer le résultat de la mesure obtenu à une valeur attendue. 

A

L'incertitude-type

On peut calculer l'incertitude-type d'une série de mesures en fonction de sa moyenne, son écart-type et le nombre de mesures. 

Incertitude-type

L'incertitude-type, ou incertitude absolue, sur la valeur moyenne d'une série de mesures d'une grandeur x est notée U(x) et a la même unité que x. Elle est liée au nombre n de mesures réalisées et à l'écart-type

La précédente série de 14 mesures de la masse d'un corps est caractérisée par un écart-type \sigma = 1{,}85 \text{ g}. Son incertitude-type est donc :
U\left(m\right) = 2 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
U\left(m\right) = 2 \cdot \dfrac{1{,}85}{\sqrt{15}}
U\left(m\right) = 1 \text{ g}

Arrondi de l'incertitude-type 

  • Si le premier chiffre non nul de l'incertitude-type est 1, 2 ou 3 : on arrondit l'incertitude-type en le conservant deux chiffres significatifs.
  • Si le premier chiffre non nul de l'incertitude est supérieur ou égal à 4 : on arrondit l'incertitude en conservant un seul chiffre significatif.

Si le calcul de l'incertitude donne comme résultat 0,23287 g, on arrondit à 0,23 g. Mais s'il donne 0,45752 g, on arrondit à 0,5 g.

Augmenter le nombre de mesures n permet donc de diminuer l'incertitude-type.

B

L'écriture du résultat 

Il faut respecter certaines conventions dans l'écriture du résultat. 

La présentation du résultat d'une série de mesures doit toujours comporter : 

  • la moyenne estimée ; 
  • l'incertitude-type précédée du signe ± ; 
  • l'unité (s'il y en a une).

 

Elle est donc de la forme :
x = \overline{x} \text{ } \pm \text{ } U(x) \text{ unité de x}

La précédente série de mesures de la masse d'un corps est caractérisée par une moyenne de 110 g et une incertitude-type de 1 g, l'écriture de son résultat est donc :
m = \overline{m} \text{ } \pm \text{ } U(m) \text{ g}
m = 110 \text{ } \pm \text{ } 1 \text{ g}

C

L'intervalle de confiance 

On définit l'intervalle de confiance comme l'intervalle qui a le plus de chances de contenir la vraie valeur de la grandeur qu'on mesure.

L'intervalle de confiance est celui qui a le plus de chances de contenir la valeur vraie (95 % avec le coefficient k étant pris égal à 2). Ses bornes se définissent à partir de la moyenne estimée \overline{x} et l'incertitude-type U(x) :
Si x = \overline{x} \text{ } \pm \text{ } U(x), l'intervalle de confiance est :

\left[ \overline{x} - U(x) \text{ ; } \overline{x} + U(x)\right]

On a donc :

\overline{x} - U(x) \leqslant x \leqslant \overline{x} + U(x)
 

L'intervalle de confiance à 95 % de la précédente série de mesures de la masse d'un corps est :

[110 − 1 g ; 110 + 1 g], soit : [109 g ; 111 g]

Il y a donc 95 % de chances pour que la masse m soit comprise entre 109 g et 111 g :

109 \text{ g} \leqslant m \leqslant 111 \text{ g}

D

La comparaison à une valeur de référence 

L'écart relatif permet de comparer le résultat de la mesure obtenu à une valeur attendue. 
 

Écart relatif

L'écart relatif \varepsilon_r permet de comparer la valeur obtenue lors d'une manipulation à une valeur attendue (théorique, indiquée par un fabricant, etc.). Généralement, on l'exprime sous la forme d'un pourcentage et plus celui-ci est faible, plus la valeur obtenue est proche de la valeur attendue.

Au lycée, on estime généralement qu'une mesure est satisfaisante si l'écart relatif est inférieur à 5 % ou 10 %.

Écart relatif 

L'écart relatif est obtenu en divisant la valeur absolue de la différence entre la valeur attendue et la valeur obtenue par la valeur attendue :

\varepsilon_r = \dfrac{\left| x_{\text{attendue}} - x_{\text{obtenue}} \right|}{x_{\text{attendue}}}
 

Lors d'une manipulation, on détermine la masse d'un corps et on obtient comme résultat 110 g. Or la masse attendue, qui sert de valeur de référence, est 105 g. L'écart relatif est alors :
\varepsilon_r = \dfrac{\left| m_{\text{attendue}} - m_{\text{obtenue}} \right|}{m_{\text{attendue}}}
\varepsilon_r = \dfrac{\left| 106 - 110 \right|}{106}
\varepsilon_r = 0{,}0038

Soit : 
\varepsilon_r = 3{,}8 \text{ \%}