Le pompage solaire consiste à élever l'eau d'un puits vers un réservoir, à l'aide d'une pompe à moteur électrique alimentée par des panneaux de cellules photovoltaïques. L'eau ainsi puisée peut par exemple couvrir les besoins domestiques d'une population ou bien permettre l'irrigation de cultures. Ces systèmes trouvent toute leur pertinence dans la mesure où la difficulté d'accéder à l'eau concerne souvent des régions où l'ensoleillement est fort.
On s'intéresse à une station de pompage située dans le Sahel malien. Pour un bon fonctionnement, il est nécessaire d'adapter le débit de la pompe aux besoins en eau, et la hauteur totale H d'élévation de l'eau à la configuration des lieux.
Le volume quotidien d'eau nécessaire est V = 35 m³ lorsque les besoins en eau sont importants. Le moteur de la pompe fonctionne pendant les six heures les plus ensoleillées de la journée ; c'est sur cette durée que le volume d'eau quotidien attendu doit être élevé de la hauteur H = 50 m.

Document 1

Schéma simplifié de l'installation

Document 2

Données

1 eV = 1{,}60 \times 10^{–19} J
Constante de Planck : h = 6{,}63 \times 10^{–34} J.s
La valeur de la célérité de la lumière dans le vide est supposée connue.
Masse volumique de l'eau : \rho = 1{,}0 \times 10^3 kg.m^-3
Intensité de la pesanteur : g = 9{,}8 N.kg^-1
Rendement d'une conversion d'énergie exprimée en pourcentage (%) : r = \dfrac {\text{énergie utile}}{\text{énergie reçue}} \times 100
La puissance du rayonnement solaire reçu par l'ensemble des panneaux est le produit de la puissance surfacique du rayonnement solaire par la surface S des panneaux : P_{reçu} = P_{surf} \times S.

Document 3

Principe de fonctionnement des cellules photovoltaïques

Les cellules photovoltaïques sont constituées de matériaux semi-
conducteurs. Quand elles sont éclairées, ces cellules se comportent comme un générateur. Dans les matériaux semi-conducteurs, les diagrammes énergétiques des électrons sont constitués de bandes : on distingue en particulier la bande de valence et la bande de conduction. Ces deux bandes sont séparées d'une énergie E_g appelée gap, caractéristique du matériau. Des électrons peuvent transiter de la bande de valence vers la bande de conduction en absorbant un photon d'énergie supérieure à E_g. C'est ce mécanisme qui donne naissance au courant électrique dans une cellule photovoltaïque.
La puissance du rayonnement solaire reçue par la cellule n'est pas intégralement convertible en puissance électrique. On considère que les photons d'énergie inférieure à E_g ne permettent pas la transition vers la bande de conduction. Il existe alors une longueur d'onde de coupure \lambda_C au-delà de laquelle il n'y a aucune conversion.
Les cellules les plus courantes sont constituées de silicium cristallin ou de silicium amorphe.

Document 4

Caractéristiques des cellules photovoltaïques utilisables pour la station de pompage

Types de cellules photovoltaïques	Énergie de gap E_g en eV	Rendement global de l'installation *	Avantages	Inconvénients
Cellule en silicium monocristallin	1,12	6,4%	Très bon rendement Durée de vie importante	Coût très élevé
Cellule en silicium polycristallin	1,12	5,2%	Bon rendement Durée de vie importante Bon rapport qualité/prix	Rendement faible sous un faible éclairement
Cellule en silicium amorphe	1,77	2,8%	Faible coût Bon fonctionnement avec un éclairement faible	Rendement faible en plein soleil Courte durée de vie

* Le rendement global de l'installation tient compte du rendement des panneaux solaires et du rendement du dispositif de pompage.

Document 5

Données météorologiques concernant la région du Sahel malien où se situe le projet

D'après Météo France

Précipitations en mm

Pour l'installation, on souhaite utiliser un matériau dont la longueur d'onde de coupure est \lambda_C = 1\ 110 nm. On souhaite donc déterminer quel type de cellule pourrait être utilisé.

Pour savoir quel type de cellule peut être utilisé pour un matériau dont la longueur d'onde de coupure vaut \lambda_C = 1\ 110 nm, il faut calculer l'énergie de gap E_g.

Quel est le calcul correct de l'énergie de gap correspondant à cette longueur d'onde de coupure ?

E_{g}= \dfrac{h}{\lambda \times c} = \dfrac{6{,}63 \times 10^{-34} }{1\ 110 \times 10^{-9} \times 3{,}00 \times 10^{8}} = 1{,}99 \times 10^{-36} J

E_{g}= \dfrac{h \times c}{\lambda} = \dfrac{6{,}63 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^{8} }{1\ 110 } = 1{,}79 \times 10^{-28} J

E_{g}=\dfrac{h \times c}{\lambda} = \dfrac{6{,}63 \times 10^{34} \times 3{,}00 \times 10^{8} }{1\ 110 \times 10^{-9}} = 1{,}79 \times 10^{-49} J

E_{g}= \dfrac{h \times c}{\lambda} = \dfrac{6{,}63 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^{8} }{1\ 110 \times 10^{-9}} = 1{,}79 \times 10^{-19} J

L'énergie de gap E_gest donnée par la relation suivante :

E_{g} = \dfrac{h\times c}{\lambda}

Dans cette relation, la longueur d'onde doit être convertie en mètres (m) :

\lambda_C = 1\ 110 nm, soit : \lambda_C = 1\ 110 \times 10^{-9} m

On a donc :

E_{g} =\dfrac{6{,}63 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^{8} }{1\ 110 \times 10^{-9}}

E_{g} = 1{,}79 \times 10^{-19} J

Quelle est la bonne conversion de cette énergie en électron-Volt (eV) ?

E_{g} \left(eV\right) = {E_{g} \left(J\right)} \times {1{,}60 \times 10^{-19}} = {1{,}79 \times 10^{-19}} \times {1{,}60 \times 10^{-19}} = 2{,}86 \times 10^{-38}\text{eV}

E_{g} \left(eV\right) = \dfrac{E_{g} \left(J\right)}{1{,}60 \times 10^{-19}} = \dfrac{1{,}79 \times 10^{-19}}{1{,}60 \times 10^{-19}} = 1{,}12\text{ eV}

E_{g} \left(eV\right) = {E_{g} \left(J\right)} \times {1{,}60 \times 10^{19}} = {1{,}79 \times 10^{-19}} \times {1{,}60 \times 10^{19}} = 2{,}86\text{ eV}

E_{g} \left(eV\right) = \dfrac{E_{g} \left(J\right)}{1{,}60 \times 10^{19}} = \dfrac{1{,}79 \times 10^{-19}}{1{,}60 \times 10^{19}} = 1{,}12 \times 10^{-38}\text{ eV}

Pour comparer cette valeur avec celles données dans le document 4, il faut la convertir en électron-volt :

E_{g} \left(eV\right) = \dfrac{E_{g} \left(J\right)}{1{,}60 \times 10^{-19}}

Soit :

E_{g} = \dfrac{1{,}79 \times 10^{-19}}{1{,}60 \times 10^{-19}}

E_{g} = 1{,}12 eV

Quels sont les deux types de cellules qui peuvent donc convenir ?

Les cellules en silicium monocristallin

Les cellules en silicium polycristallin

Les cellules en silicium amorphe

Les cellules en silicium liquide

Les cellules en silicium monocristallin et polycristallin peuvent convenir, car elles ont la bonne valeur de E_g(1,12 eV).

Quels sont les deux critères qui pourraient justifier le choix des cellules en silicium polycristallin ?

Un bon rapport qualité/prix

Une meilleure réflexion

Une meilleure tension

Une durée de vie importante

Les cellules en silicium monocristallin et polycristallin peuvent convenir, mais si on s'intéresse au coût des cellules en silicium monocristallin, le coût est très élevé. On favorisera donc pour ce projet les cellules en silicium polycristallin, moins chères que celles en silicium monocristallin, mais avec un bon rendement, une durée de vie importante et un bon rapport qualité/prix. Dans la suite de l'exercice, on utilisera les cellules en silicium polycristallin.

On désire calculer l'énergie que doit fournir la pompe pour élever l'eau du puits.

Quelle est la formule donnant l'énergie potentielle de pesanteur d'un volume d'eau V situé à une hauteur H ?

E_{pp} = \dfrac{m}{V} \times g \times H = V \times g \times H

E_{pp} = m \times g \times H = \dfrac{\rho}{V} \times g \times H

E_{pp} = m \times g \times H = \rho \times V \times g \times H

E_{pp} = \dfrac{m}{V} \times g \times H = \rho \times g \times H

L'énergie nécessaire pour soulever un volume d'eau V = 1{,}0 m³ de masse m d'une hauteur h = 50 m est l'énergie potentielle de pesanteur E_pp.Pour calculer cette énergie, il faut utiliser la relation suivante :

E_{pp} = m \times g \times h

La masse d'eau n'est pas donnée mais elle est liée au volume et à la masse volumique par la relation suivante :

m = \rho \times V

On obtient donc :

E_{pp} = \rho \times V \times g \times h

Par déduction, quel est le calcul correct de l'énergie nécessaire pour élever 35 m³ d'eau d'une hauteur de 50 m ?

E_{pp} = \rho \times V \times g \times H = 1{,}0\times10^{3} \times 50 \times 9{,}8 \times 50 = 2{,}7\times 10^{7} J

E_{pp} = \dfrac{\rho \times V \times g}{H}= \dfrac{1{,}0\times10^{3} \times 35 \times 9{,}8}{50}= 6{,}9 \times10^{3} J

E_{pp} = \rho \times V \times g \times H =1{,}0\times10^{3} \times 35 \times 9{,}8 \times 50= 1{,}7 \times 10^{7} J

E_{pp} = = \dfrac{\rho \times H \times g}{V}= \dfrac{1{,}0\times10^{3} \times 50 \times 9{,}8}{35}= 1{,}4 \times10^{4} J

On a donc :

E_{pp} = \rho \times V \times g \times h

E_{pp} = 1{,}0\times10^{3} \times 1{,}0 \times 9{,}8 \times 50

E_{pp} = 4{,}9 \times 10^{5} J

Il faut une énergie de 4{,}9 \times 10^5 J pour élever un volume d'eau de 1,0 m³ d'une hauteur de 50 m.

On souhaite déterminer la surface totale des panneaux solaires qui permettrait de satisfaire aux besoins en eau, au cours d'un mois de l'année où ces besoins sont importants au Sahel malien.

Sachant que l'énergie nécessaire pour élever 35 m³ d'une hauteur de 50 m est 1{,}7 \times 10^7 J, quel est le calcul correct de l'énergie lumineuse que les panneaux solaires doivent recevoir ?

E_{lum} = \dfrac{E_{pp}}{r} = \dfrac{1{,}7 \times 10^{7}}{52} = 3{,}3 \times 10^{5} J

E_{lum} = \dfrac{E_{pp}}{r} = \dfrac{1{,}7 \times 10^{7}}{0{,}052} = 3{,}3 \times 10^{8} J

E_{lum} =E_{pp} \times r \times 100 = 1{,}7 \times 10^{7} \times 0{,}052 \times 100 =8{,}8 \times 10^{7} J

E_{lum} = E_{pp} \times r = 1{,}7 \times 10^{7} \times 5{,}2 = 8{,}8 \times 10^{7} J

La formule donnant le rendement r d'une chaîne de conversion est :

r = \dfrac{E_{utile} }{E_{reçue}}

D'où :

E_{lum} = \dfrac{E_{pp}}{r}

E_{lum} = \dfrac{1{,}7 \times 10^{7}}{0{,}052}

E_{lum} = 3{,}3 \times 10^{8} J

D'après le document 5, pendant combien d'heures peut-on compter sur un ensoleillement important ?

12 heures

6 heures

15 heures

9 heures

Le document 5 indique que l'on peut compter sur 6 heures d'ensoleillement par jour, de 9h à 15h.

D'après le document 5, quel mois de l'année les besoins en eau sont-ils importants et la puissance surfacique reçue est-elle minimale ?

mars

novembre

janvier

mai

Les besoins en eau sont importants au mois de janvier, puisqu'il n'y a pas de précipitations.

Quel calcul donne la valeur moyenne de la puissance surfacique du rayonnement solaire ?

P_{surf} = \dfrac{790 + 900}{2} = 845 Wm⁻²

P_{surf} = \dfrac{780 + 960}{2} = 870 Wm⁻²

P_{surf} =790 + 900= 1\ 690 Wm⁻²

P_{surf} = \dfrac{850 + 950}{2} = 900 Wm⁻²

On estime la puissance surfacique moyenne au mois de janvier, sachant que P_surf est compris entre 790 et 900 W.m-² :

P_{surf} = \dfrac{790 + 900}{2}

P_{surf} = 845 W.m^-2

Quel est le rendement des panneaux photovoltaïques en silicium polycristallin qu'on envisage d'utiliser ?

6,4%

2,8%

5,2%

52%

Le rendement global des panneaux photovoltaïques en silicium polycristallin est égal à 5,2 %.

La puissance surfacique du rayonnement solaire étant de 845 W.m^-2 et la durée d'ensoleillement étant de 6 h, quel est le calcul correct de la surface des panneaux photovoltaïques nécessaire ?

S= P_{surf} \times \Delta t = 845 \times 6 = 5{,}1 \times 10^{3}\text{ m²}

S=\dfrac{ \rho \times V \times g\times H }{r \times \Delta t \times P_{surf}} = \dfrac{ 1{,}0 \times 10^{3} \times 50 \times 9{,}8 \times 50 }{5{,}2 \times 21{,}6 \times10^{3} \times845} \times 100 = 25{,}8\text{ m²}

S= \dfrac{ \rho \times V \times g\times H }{r \times \Delta t \times P_{surf}} =\dfrac{ 1{,}0 \times 10^{3} \times 35 \times 9{,}8 \times 50 }{5{,}2 \times 6 \times845} = 6{,}5 \times 10^{2}\text{ m²}

S=\dfrac{ \rho \times V \times g\times H }{r \times \Delta t \times P_{surf}} = \dfrac{ 1{,}0 \times 10^{3} \times 35 \times 9{,}8 \times 50 }{0{,}052 \times 21{,}6 \times10^{3} \times845} =18{,}1\text{ m²}

La formule donnant le rendement r d'une chaîne de conversion est :

r = \dfrac{E_{utile} }{E_{reçue}}

L'énergie utile est l'énergie potentielle de pesanteur nécessaire pour soulever un volume d'eau à une certaine hauteur. Son expression est E_{pp}=\rho\times V \times g \times h, avec :

V = 35 m³
h = 50 m
\rho = 1{,}0 \times 10^{3} kg.m^-3
g = 9{,}8 N.kg^-1

L'énergie reçue est l'énergie lumineuse E_lum :

E_{lum} = P_{surf} \times S \times \Delta t

Avec :

\Delta t =6 h, soit \Delta t = 6 \times 3\ 600 = 21{,}6 \times 10^{3} s
P_{surf} = \dfrac{790 + 900}{2} = 845 W.m^-2

Le rendement des panneaux est donc donné par la relation :

r= \dfrac{\rho \times V \times g \times h}{P_{surf} \times S \times \Delta t}

On isole alors la surface totale S :

S = \dfrac{\rho \times V \times g \times h}{r\times \Delta t \times P_{surf}}

Soit :

S= \dfrac{ 1{,}0 \times 10^{3} \times 35 \times 9{,}8 \times 50 }{0{,}052 \times 21{,}6 \times10^{3} \times845}

S = 18{,}1 m²

Que peut-on conclure ?

La surface S nécessaire est raisonnable, l'utilisation de ces panneaux solaires est donc pertinente.

La surface S nécessaire est beaucoup trop grande, l'utilisation de ces panneaux solaires n'est donc pas pertinente.

La surface S nécessaire est raisonnable, l'utilisation de ces panneaux solaires est donc pertinente.