Soit la figure ci-dessous représentant Mars (M), son satellite Phobos (P) et un axe (Ox) joignant leurs centres.
L'échelle, valable uniquement pour les distances et positions sur (Ox), et non pas pour la taille des astres, figure sur le coin inférieur gauche.
Données :
- G, la constante de gravitation universelle ( 6{,}674 \times 10^{-11} N.m2.kg–2)
- m_{M} = 6{,}4185 \times 10^{23} kg, la masse de Mars
- m_{P} = 1{,}072 \times 10^{16} kg, la masse de Phobos
- d_{MP} = 9{,}377 \times 10^{6} m, la distance séparant les deux corps
Quelles sont les expressions des champs de gravitation créés par Mars et Phobos en fonction de x ?
La force d'attraction gravitationnelle exercée par un corps A sur un corps B s'exprime à l'aide de la formule générale suivante :
F_{A/B} = G \times \dfrac{ m_{A}\times m_{B}}{d^{2}}
Avec :
- G, la constante de gravitation universelle ( 6{,}67 \times 10^{-11} N.m2.kg–2)
- m_{A} , la masse du corps A (en kg)
- m_{B} , la masse du corps B (en kg)
- d, la distance séparant les deux corps (en m)
Ce que l'on peut aussi exprimer vectoriellement :
\overrightarrow{F_{A/B}} = \overrightarrow{g_{A}} \times m_{B}
Avec \overrightarrow{g_{A}} représentant le champ de gravitation exercé par le corps A, qu'il y ait ou non une masse m_{B} pour en subir les effets.
On déduit de ces deux formules une nouvelle expression de la valeur g_A :
g_{A} = G \times \dfrac{ m_{A}}{d^{2}}
Expression du champ de gravitation créé par Mars
Le centre de gravité de Mars ayant été placé à l'origine de l'axe (Ox), on remplace simplement la distance d par x dans l'expression déterminée ci-dessus :
g_{M} = G \times \dfrac{ m_{M}}{x^{2}}
Pour obtenir l'expression en fonction de x uniquement, on remplace G et m_{M} par leurs valeurs. On obtient :
g_{M} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \dfrac{ 6{,}4185 \times 10^{23}}{x^{2}}
g_{M} = \dfrac{ 4{,}284 \times 10^{13}}{x^{2}}
Expression du champ de gravitation créé par Phobos
Le centre de gravité de Mars ayant été placé à l'origine de l'axe (Ox), celui de Phobos en est à la distance d_{MP}. On en déduit que n'importe quel point sur l'axe (Ox) se trouve à une distance d_{MP}-x du centre de Phobos.
On remplace alors la distance d dans l'expression d'un champ gravitationnel par d_{MP}-x ce qui donne :
g_{P} = G \times \dfrac{ m_{P}}{\left(d_{MP}-x\right)^{2}}
Pour obtenir l'expression en fonction de x uniquement, on remplace G, d_{MP} et m_{P} par leurs valeurs :
g_{P} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \dfrac{1{,}072 \times 10^{16}}{\left(9{,}377 \times 10^{6}-x\right)^{2}}
g_{P} = \dfrac{7{,}155 \times 10^{5}}{\left(9{,}377 \times 10^{6}-x\right)^{2}}
Sur quel schéma les champs de gravitation créés par Mars et par Phobos en fonction de x sont-ils correctement représentés ?
Il s'agit d'un champ attractif donc cela signifie que ses lignes de champ convergent vers le centre de gravité de sa source (soit le centre de Mars, soit le centre de Phobos comme ici).
Même si, rigoureusement, les lignes de ces deux champs interfèrent, il est acceptable de les représenter comme des droites tant qu'on ne les fait pas se croiser (on ne les représente pas allant jusqu'au centre de l'astre car celui-ci est supposé ponctuel).
Pour quelles valeurs de x ces champs ont-ils la même valeur ?
Mise en place de l'équation
Ces champs de gravitation ont la même valeur lorsque les expressions de g_{M} et g_{P} sont égales, soit :
g_{M} = g_{P}
\Leftrightarrow \dfrac{ 4{,}284 \times 10^{13}}{x^{2}} = \dfrac{7{,}155 \times 10^{5}}{\left(9{,}377 \times 10^{6}-x\right)^{2}}
\Leftrightarrow \dfrac{ 4{,}284 \times 10^{13}}{x^{2}} = \dfrac{7{,}155 \times 10^{5}}{\left(x^{2}-1{,}875 \times 10^{7}\times x + 8{,}793 \times 10^{13}\right)}
\Leftrightarrow 4{,}284 \times 10^{13} \times \left(x^{2}-1{,}875 \times 10^{7}\times x + 8{,}793 \times 10^{13}\right) = 7{,}155 \times 10^{5} \times x^{2}
\Leftrightarrow 4{,}284 \times 10^{13} \times x^{2}-8{,}033 \times 10^{20}\times x + 3{,}767 \times 10^{27} = 7{,}155 \times 10^{5} \times x^{2}
\Leftrightarrow 4{,}284 \times 10^{13} \times x^{2}-8{,}033 \times 10^{20}\times x + 3{,}767 \times 10^{27} = 0
On reconnaît une équation du second degré.
Calcul du discriminant
Une équation du second degré peut s'écrire sous la forme ax^{2} + bx + c = 0. Son discriminant vaut alors \Delta = b^{2} - 4ac.
Dans le cas de l'équation 4{,}284 \times 10^{13} \times x^{2}-8{,}033 \times 10^{20}\times x +3{,}767 \times 10^{27} = 0, cela donne :
\Delta = 6{,}4523\times 10^{41} - 4\times 4{,}284 \times 10^{13} \times 3{,}767 \times 10^{27}
\Delta = -3{,}026\times 10^{38}
Comme \Delta\lt0, le trinôme n'a pas de racines réelles.
Interprétation
Il n'y a pas de solution réelle de l'équation dans ce cas car les champs gravitationnels de Mars et de Phobos ont des ordres de grandeur trop différents et que ces deux astres sont bien trop proches l'un de l'autre. Il n'y a donc pas de points de Lagrange dans le cas du système Mars-Phobos.
Il n'y a pas de valeurs réelles de x pour lesquelles ces champs ont la même valeur.