Etudier l'influence de l'altitude sur un champ de pesanteur Problème

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 30/03/2019 - Conforme au programme 2018-2019

Le but de ce problème est d'étudier l'influence de l'altitude dans les expressions et les effets d'un champ de pesanteur.

Données :

G, la constante de gravitation universelle ( 6{,}67 \times 10^{-11} N.m².kg^-2)
m_{T} = 5{,}9736 \times 10^{24} kg, la masse de la Terre
R_{T} = 6{,}370 \times 10^{3} km, le rayon de la Terre

Quelle est l'expression littérale du champ de pesanteur terrestre au niveau du sol ?

g_{T} = G \times \dfrac{ m_{T}}{R_{T}^{2}}

g_{T} = G \times \dfrac{ m_{T}^{2}}{R_{T}}

g_{T} = G \times \dfrac{ m_{T}}{R_{T}^{}}

g_{T} = G \times \dfrac{R_{T}^{}}{ m_{T}}

La force d'attraction gravitationnelle exercée par un corps A sur un corps B s'exprime à l'aide de la formule générale suivante :

F_{A/B} = G \times \dfrac{ m_{A}\times m_{B}}{d^{2}}

Avec :

G, la constante de gravitation universelle (N.m².kg^-2)
m_{A}, la masse du corps A (en kg)
m_{B}, la masse du corps B (en kg)
d, la distance séparant les deux corps (en m)

Ce que l'on peut aussi exprimer vectoriellement :

\overrightarrow{F_{A/B}} = \overrightarrow{g_{A}} \times m_{B}

Avec \overrightarrow{g_{A}} représentant le champ de gravitation exercé par le corps A, qu'il y ait ou non une masse m_{B} pour en subir les effets.

On déduit de ces deux formules une nouvelle expression de la valeur g_A :

g_{A} = G \times \dfrac{ m_{A}}{d^{2}}

Appliquée à la Terre, la distance séparant la surface de la planète de son centre de gravité étant le rayon de celle-ci, cela donne :

g_{T} = G \times \dfrac{ m_{T}}{R_{T}^{2}}

Que trouve-t-on en le calculant avec les données ? Est-ce comparable avec la valeur indiquée dans les tables ?

g_{T} = 9{,}82 N.kg⁻¹, ce qui est proche de la valeur donnée dans les tables.

g_{T} = 98{,}2 N.kg⁻¹, ce qui est proche de la valeur donnée dans les tables.

g_{T} = 6{,}67 N.kg⁻¹, ce qui est éloigné de la valeur donnée dans les tables.

g_{T} = 66{,}7 N.kg⁻¹, ce qui est éloigné de la valeur donnée dans les tables.

On a donc :

g_{T} = G \times \dfrac{ m_{T}}{R_{T}^{2}}

En faisant l'application numérique après avoir effectué les conversions, on obtient :

g_{T} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{ 5{,}9736 \times 10^{24}}{\left(6{,}370 \times 10^{6}\right)^{2}}

g_{T} = 9{,}82 N/kg

La légère différence avec la valeur dans les tables de 9,81 N/kg peut s'expliquer par le fait que la Terre n'a pas le même rayon partout car elle s'aplatit au niveau des pôles.

L'expression du champ de pesanteur terrestre est : g_{T} = G \times \dfrac{ m_{T}}{R_{T}^{2}} tandis que sa valeur, obtenue par le calcul, est de 9,82 N/kg.
Cette valeur est de 9,81 N/kg dans les tables, ce qui, à la dernière décimale près, est identique à celle calculée.

Quelle est la valeur du champ de pesanteur au niveau du sommet du mont Blanc, culminant à 4807 mètres ?

g_{T_{MtBlanc}} = 9{,}81 N.kg⁻¹

g_{T_{MtBlanc}} = 9{,}78 N.kg⁻¹

g_{T_{MtBlanc}} = 9{,}83 N.kg⁻¹

g_{T_{MtBlanc}} = 10{,}0 N.kg⁻¹

L'expression que l'on doit utiliser pour déterminer la valeur du champ de pesanteur est la même que dans la première question :

(g_{A} = G \times \dfrac{ m_{A}}{d^{2}})

Ici, d ne correspond plus seulement au rayon de la planète car il faut y ajouter l'altitude h (par rapport à la surface) du niveau auquel on étudie la valeur du champ.

On a donc :

d = R_{T} + h

Soit :

d = 6{,}370 \times 10^{6} + 4\ 807

d = 6{,}375 \times 10^{6} m

On en déduit donc, en faisant l'application numérique :

g_{T_{MtBlanc}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{ 5{,}9736 \times 10^{24}}{\left(6{,}375 \times 10^{6}\right)^{2}}

g_{T_{MtBlanc}} = 9{,}81 N/kg

La valeur du champ de pesanteur au niveau du sommet du mont Blanc est de 9,81 N/kg.

Quelle est la valeur de l'écart relatif avec la valeur au sol ?

On a un écart relatif entre les deux valeurs d'environ 0,1%, ce qui est extrêmement faible, la variation ne sera donc pas perceptible.

On a un écart relatif entre les deux valeurs d'environ 0,1%, ce qui est assez élevé, la variation sera donc perceptible.

On a un écart relatif entre les deux valeurs d'environ 15 %, ce qui est assez élevé, la variation sera donc perceptible.

On a un écart relatif entre les deux valeurs d'environ 15 %, ce qui est extrêmement faible, la variation ne sera donc pas perceptible.

L'écart relatif (noté ER) avec la valeur au sol se calcule de la manière suivante :

ER = \dfrac{\left| g_{T_{MtBlanc}} -g_{T_{surface}} \right|}{g_{T_{surface}}}

Soit en faisant l'application numérique :

ER = \dfrac{\left| 9{,}81 -9{,}82 \right|}{9{,}82}

ER = 1{,}02 \times 10^{-3}

Cela correspond à environ 0,1%.

On a un écart relatif entre les deux valeurs d'environ 0,1%, ce qui est extrêmement faible, donc il n'y a pas de variation sensible.

À quelle altitude faut-il se placer pour que le champ de pesanteur soit quatre fois plus faible qu'à la surface de la Terre ? Cela était-il prévisible ?

L'altitude recherchée est h =6{,}36 \times 10^{6} m et est donc égale au rayon de la Terre, ce qui était prévisible car l'intensité du champ varie de manière inversement proportionnelle à d^2.

L'altitude recherchée est h =6{,}36 \times 10^{3} m et est donc égale au rayon de la Terre, ce qui était prévisible car l'intensité du champ varie de manière inversement proportionnelle à d^2.

L'altitude recherchée est h =6{,}36 \times 10^{6} m et est donc égale au rayon de la Terre, ce qui était prévisible car l'intensité du champ varie de manière proportionnelle à d^2.

L'altitude recherchée est h =6{,}36 \times 10^{3} m et est donc égale au rayon de la Terre, ce qui était prévisible car l'intensité du champ varie de manière proportionnelle à d^2.

Etape 1

Détermination de l'altitude recherchée

On isole h dans la formule du champ de pesanteur :

g = G \times \dfrac{ m}{\left(R + h\right)^{2}}

\Leftrightarrow g \times \left(R + h\right)^{2} = G \times m

\Leftrightarrow R + h = \sqrt{\dfrac{G \times m}{g}}

\Leftrightarrow h = \sqrt{\dfrac{G \times m}{g}} - R

On réalise alors l'application numérique en tenant compte du fait qu'ici :

g = \dfrac{g_{T_{surface}}}{4}

g = 2{,}46 N/kg

On en déduit la valeur de l'altitude à laquelle cette condition sera vérifiée :

h = \sqrt{\dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}9736 \times 10^{24}}{2{,}46}} - 6{,}370 \times 10^{6}

h =6{,}36 \times 10^{6} m

Etape 2

Étude de la prévisibilité

Cette valeur correspond, à la dernière décimale près, à celle du rayon de la Terre. Cela signifie qu'en doublant la distance d, on a divisé par quatre l'intensité du champ.

Ce résultat était prévisible car l'intensité du champ varie de manière inversement proportionnelle à d^2 comme l'indique son expression. Or 4 est le carré de 2, donc si l'on double d, on divise par quatre l'intensité de g.

L'altitude recherchée ( h =6{,}36 \times 10^{6} m) a la même valeur que le rayon de la Terre, ce qui était prévisible car l'intensité du champ varie de manière inversement proportionnelle à d^2.