Dans l'expérience historique de Millikan (1911), des gouttes d'huile de masse m = 4{,}0 \times 10^{-14} kg et de charge q = -10e sont placées entre deux armatures métalliques chargées distantes de d = 4{,}0 cm selon le schéma ci-dessous :
En modifiant la tension U entre les deux armatures de manière à ce que les gouttes aient un mouvement rectiligne et uniforme, il réussit à effectuer la première mesure historique de la charge élémentaire e.
On rappelle qu'un corps est en mouvement rectiligne et uniforme s'il subit des forces qui se compensent. Dans le cas où il s'agit de deux forces de même direction, elles sont nécessairement opposées et de même valeur.
On rappelle aussi la valeur du champ de pesanteur terrestre : g = 9{,}81 N/kg.
À quels champs la goutte d'huile va-t-elle être sensible ?
Dès lors qu'il existe une tension entre les armatures, il existe un champ électrique entre elles. De plus, si le système étudié se trouve dans le voisinage de la Terre, il est susceptible de subir l'influence du champ gravitationnel de celle-ci.
La goutte d'huile possédant une masse, elle va être sensible au champ de pesanteur terrestre.
De même, puisqu'elle possède une charge, elle va aussi être sensible au champ électrique régnant entre les deux armatures métalliques.
Sur quel schéma a-t-on correctement représenté ces champs dans la situation où le mouvement observé des gouttes est rectiligne et uniforme ?
À ce stade, la polarité des armatures ainsi que la tension régnant entre elles n'ayant pas été déterminées, il n'est pas nécessaire d'indiquer ces informations.
Représentation du champ de pesanteur
Le système étudié se trouvant dans un référentiel terrestre, le champ gravitationnel de celle-ci est omniprésent.
À l'échelle de l'expérience, on peut négliger la courbure de la surface de la planète donc les lignes de champ seront parallèles entre elles et toutes orientées vers le bas.
On choisira le violet pour représenter le champ de pesanteur terrestre, \overrightarrow{g}.
Représentation du champ électrique
On nous dit dans l'énoncé que le mouvement observé des gouttes est rectiligne et uniforme. Cela signifie que les forces s'exerçant sur elles se compensent donc que les forces électrostatiques et gravitationnelles s'exercent sur la même direction mais avec un sens opposé.
Les forces gravitationnelles \overrightarrow{F_{g}} étant forcément de direction verticale et orientées vers le bas, on en déduit que les forces électrostatiques \overrightarrow{F_{e}} sont de direction verticale mais orientées vers le haut.
Or, la charge q des gouttes d'huile est négative. Cela signifie, d'après la relation \overrightarrow{F_{e}} = q \times \overrightarrow{E}, que le champ électrique est de sens opposé à la force électrostatique donc qu'il a ses lignes de champ orientées du haut vers le bas.
On choisira le rouge pour le représenter.
Sur quel schéma a-t-on correctement représenté les polarités (positive ou négative) de chaque armature ?
Dès lors qu'il existe une tension entre les armatures, il existe un champ électrique entre elles orienté dans le sens des potentiels décroissants donc de l'armature ayant la charge la plus élevée vers celle ayant la charge la plus faible.
Le champ électrique étant orienté du haut vers le bas, on en déduit que c'est l'armature B qui possède une charge positive, notée Q_B, et l'armature A qui possède une charge négative, notée Q_A.
Quelles sont les expressions vectorielles des deux forces subies par la goutte d'huile en fonction des caractéristiques de celle-ci ?
Exprimer vectoriellement les deux forces en fonction des caractéristiques de la goutte signifie que l'on ne doit établir que les expressions simplifiées, sans tenir compte pour le moment des normes des champs dont elles sont issues.
Expression de la force électrostatique
On a, pour la force électrostatique, la relation :
\overrightarrow{F_{e}} = q \times \overrightarrow{E}
Avec q la charge de la goutte subissant le champ électrique \overrightarrow{E} .
Connaissant l'expression de la charge d'une goutte d'huile, on peut aussi l'exprimer ainsi :
\overrightarrow{F_{e}} = -10e \times \overrightarrow{E}
Expression de la force gravitationnelle
Pour la force gravitationnelle, on a la relation :
\overrightarrow{F_{g}} = m \times \overrightarrow{g}
Avec m la masse de la goutte subissant le champ de pesanteur \overrightarrow{g}.
Connaissant la valeur de la masse d'une goutte d'huile, on peut aussi l'exprimer ainsi :
\overrightarrow{F_{g}} = 4{,}0 \times 10^{-14} \times \overrightarrow{g}
Quelle est la représentation correcte de ces forces ?
Expression de la force électrostatique
On a, pour la force électrostatique, la relation :
\overrightarrow{F_{e}} = q \times \overrightarrow{E}
Avec q la charge de la goutte subissant le champ électrique \overrightarrow{E} .
Connaissant l'expression de la charge d'une goutte d'huile, on peut aussi l'exprimer ainsi :
\overrightarrow{F_{e}} = -10e \times \overrightarrow{E}
Expression de la force gravitationnelle
Pour la force gravitationnelle, on a la relation :
\overrightarrow{F_{g}} = m \times \overrightarrow{g}
Avec m la masse de la goutte subissant le champ de pesanteur \overrightarrow{g}.
Connaissant la valeur de la masse d'une goutte d'huile, on peut aussi l'exprimer ainsi :
\overrightarrow{F_{g}} = 4{,}0 \times 10^{-14} \times \overrightarrow{g}
Représentation des forces sur un schéma
Sachant que la tension à appliquer entre les deux armatures est U = 9{,}86 kV, quelle est alors la valeur du champ électrique existant entre les armatures ?
L'intensité du champ électrique (en V.m-1) se détermine avec la formule suivante :
E=\dfrac{\left| U_{AB} \right|}{d}
Avec :
- U_{AB} , la tension entre les armatures A et B (V)
- d, la distance entre les armatures A et B (m)
En faisant l'application numérique, après avoir converti les grandeurs, on trouve :
E=\dfrac{9{,}86\times 10^{3}}{4{,}0\times 10^{-2}}
E=2{,}5\times 10^{5} V.m-1
Quel calcul donne alors la valeur e de la charge élémentaire ?
Mise en place de l'équation
Le mouvement observé des gouttes est rectiligne et uniforme. Cela signifie que les forces s'exerçant sur elles se compensent donc qu'elles ont la même valeur puisqu'elles ont des sens opposés :
F_{g} = F_{e}
Ce qui donne, en les remplaçant par leurs expressions précédemment déterminées et une fois que l'on a tenu compte de l'opposition de sens qu'il y avait entre \overrightarrow{g} et \overrightarrow{E} :
4{,}0 \times 10^{-14} \times g = 10 e \times E
La valeur de g est fournie dans l'énoncé. Il reste donc à déterminer celle de E.
Détermination de E
L'intensité du champ électrique (en V.m-1) se détermine avec la formule suivante :
E=\dfrac{\left| U_{AB} \right|}{d}
Avec :
- U_{AB} , la tension entre les armatures A et B (V)
- d, la distance entre les armatures A et B (m)
En faisant l'application numérique, après avoir converti les grandeurs, on trouve :
E=\dfrac{9{,}86\times 10^{3}}{4{,}0\times 10^{-2}}
E=2{,}5\times 10^{5} V.m-1
Détermination de e
Connaissant désormais g et E, on peut résoudre l'équation en utilisant leurs valeurs dans l'équation :
4{,}0 \times 10^{-14} \times g = 10 e \times E
4{,}0 \times 10^{-14} \times 9{,}81 = 10 e \times 2{,}5 \times 10^{5}
\dfrac{4{,}0 \times 10^{-14} \times 9{,}81}{10\times 2{,}5 \times 10^{5}} = e
En tenant compte des chiffres significatifs, on obtient finalement :
e = 1{,}6 \times 10^{-19} C
La valeur de la charge élémentaire selon l'expérience est de 1{,}6 \times 10^{-19} C.
La valeur de la charge élémentaire que l'on trouve dans les tables actuelles est e = 1{,}6 \times10^{-19} C.
Que peut-on alors conclure ?
La valeur de la charge élémentaire que l'on trouve dans les tables actuelles est la même que celle déterminée avec les valeurs expérimentales en tenant compte de leurs chiffres significatifs.
Cette méthode de détermination possède donc une bonne fiabilité.